[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む62 (1002ﾚｽ)
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172(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/10(日)22:54 ID:rk/29Zdt(27/28) AAS
>>170
（追加参考）
外部ﾘﾝｸ:repository.lib.tottori-u.ac.jp
外部ﾘﾝｸ[pdf]:repository.lib.tottori-u.ac.jp
第二階論理によるペアノ算術 田畑 博敏 鳥取大学教育地域科学部 2002
(抜粋)
はじめに
省14
173: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/10(日)22:54 ID:rk/29Zdt(28/28) AAS
>>172
つづき
第一階論理を基礎にした第一階ペアノ算術には，自然数の構造に代表される，意図されたモデルとは同型でないモデル，非標準モデルが存在するO このことは，第一階論理において成り立つコンパクト性定理からの帰結である。
他方以下の補題(補題1. 2. 1)に見るように，第一階ペアノ算術のモデルである構造免が標準的数しか持たないことと，標準的数の集合がAにおいて第一階の式によって定義可能であることとは，必要十分の関係にある。
よって，第一階ペアノ算術が非標準モデルを持つということは意図された数(標準的数)が第一階の論理式では定義できない，ということを意味する。
「算術を適確に表現する」という観点からも，第一階論理の表現力の弱さが，ここで浮彫りになる。
さて，第一階ペアノ算術の非標準モデル，すなわち，意図された標準モデルと同型でないモデルの存在は，第一階論理のコンパクト性定理から(大まかには)以下のように導かれる。
省4
175(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/11(月)07:59 ID:NUGiaq8/(2/12) AAS
>>172
（参考追加）
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Peano axioms
(抜粋)
4 Models
4.1 Set-theoretic models
省10
177(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/11(月)09:01 ID:NUGiaq8/(4/12) AAS
>>172 補足追加
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
二階述語論理
(抜粋)
一階述語論理と同様に議論領域（ドメイン）の考え方を使う。
ドメインとは、量化可能な個々の元の集合である。一階述語論理では、そのドメインの個々の元が変項の値となり、量化される。
例えば、一階の論理式 ∀x (x ≠ x + 1) では、変項 x は任意の個体を表す。二階述語論理は個体の集合を変項の値とし、量化することができる。
省18
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