現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む62

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99: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/09(土) 00:27:42.89 ID:9Sqq12HI

>>98

サイコパスのウソ
何も出ないのは分ったよ
仕方ないから
下記、これ出すよｗ（＾＾；

スレ61 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1550409146/987
987 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2019/03/08(金) 14:34:23.63 ID:nHTjj5G+
Nのモデルを
…∈ 10 ∈9 ∈8 ∈7 ∈6 ∈5 ∈4 ∈3 ∈2 ∈1 ∈0
となるように作ろう！
(引用終り)

そう、だれか書いてくれたが、これだね
渕野昌先生が、同じことを書いている

順序の定義：順序数α,βに対し， α∈βをα＜βと表わし, "α∈βまたはα＝β”をα≦βと表わすことにする．
順序も定義せずに、”正則”と叫ぶバカがいる

公理系の議論をしているときに、定義もなしに議論するバカ

”∈”を使って、順序”＜”を定義する
これ
フォン・ノイマンが案出した巧妙なトリックなのだ（＾＾
（下記二つのPDFご参照。まあ、凡人には無理かも）

http://fuchino.ddo.jp/misc/goedel-universe.pdf
渕野 昌，連続体仮説とゲーデルの集合論的宇宙（ユニヴァース）， 現代思想，2007年2月臨時増刊号 (2007), 94-116
(抜粋)
Ｐ13
フォン・ノイマンがここで案出したもう一つの巧妙なトリックは、
このように帰納的に定義することと結果として同じになるような順序数の内的な定義を与えることであった。
具体的には、「要素が集合の帰属関係∈ で 整列されるような集合を順序数とする」
として順序数を定義する。
また２つの順序数α、β
に対し、順序関係α < β を、
α ∈ β となることで定義するのである。
この順序数の定義により、各々の順序数は、それより小さい順序数の全体となり、
それらは各順序型に関して一意に決まり、その大小関係にそって、
数学的帰納法の議論のできるようなものとなるのである。
(引用終り)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/99

107: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/09(土) 10:26:52.19 ID:9Sqq12HI

>>99 補足
>”∈”を使って、順序”＜”を定義する
>これ
>フォン・ノイマンが案出した巧妙なトリックなのだ（＾＾

この引用の前の記述が下記
http://fuchino.ddo.jp/misc/goedel-universe.pdf
渕野 昌，連続体仮説とゲーデルの集合論的宇宙（ユニヴァース）， 現代思想，2007年2月臨時増刊号 (2007), 94-116
(抜粋)
Ｐ13
数の列の順序にそって帰納法の議論
が可能でなくてはならない。集合論の言葉で、帰納法の議論の可能性をどう表現できるかを考てみると、
「0, 1, 2, 3,. . . , ω, ω + 1, ω + 2,. . . のどの部分列も最小の要素を持つ」、
という性質としてあらわすのが、自然であることがわかる。
そこで、順序数を、「その数より小さい数の全体が、どの部分集合も最小の要素を持つようなもの」、
と規定することが考えられる。
ところが、こう言っただけでは、ひとつひとつの順序数は、対象としては一意に決まってくれない。
これに対するエレガントな解決法は、カントルの時代よりずいぶん後になってから、
フォン・ノイマン(John von Neumann, 1903{1957) によって発明されている。
それは、各々の順序数を、それより小さい順序数の全体と定義する、というものであった。
これにより、有限の順序数、つまり自然数が集合として確定する:
0はそれより小さい順序数を一つも持たないから、φとなり、
1は0のみをそれより小さい順序数として持つから、{φ} となり、・・・ 等々。
また、ω = {0, 1, 2, , , ,}, ω + 1 = f0, 1, 2, , , , , ω} 等々。
ところが、このように続けたときの一般論を展開するには、
数学的帰納法による議論が必要になってくるが、
まさにそのような無限版の数学的帰納法を乗せる媒体として
順序数をここで定義しようとしているのであるから、これでは循環論法に陥ってしまう。
フォン・ノイマンがここで案出したもう一つの巧妙なトリックは、
このように帰納的に定義することと結果として同じになるような順序数の内的な定義を与えることであった。
具体的には、「要素が集合の帰属関係∈ で整列されるような集合を順序数とする」
として順序数を定義する。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/107

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