現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む62

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949: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/28(木) 07:31:55.79 ID:7L3ElMut

>>930
>有理数の各点が同じ重みを持つように
>測度を設定することができないのは
>数学学んだ人全員の常識だから

間違っているが、たまに良いことをいうね
・ヴィタリ集合の意味する非可測は、0と∞を含む「いかなる値も λ(V) の値として定義してはいけない」ということ
・一方「可算集合のルベーグ測度が0であることの証明」（下記）にあるように、”有理数の各点のルベーグ測度は0”である
・時枝記事の無限次元R^N空間は、このままでは例えば”ヒルベルト空間”ではなく、計量が入らない
　時枝記事では、ヴィタリ集合うんぬんを書いているが、もともと無限次元R^N空間に計量が入っていないから、ミスリードだな
　（実数Rに計量が入っているヴィタリ集合の非可測とは、事情が全く異なる）

ご苦労さまでした（＾＾；

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88
ヴィタリ集合
(抜粋)
数学において、ヴィタリ集合（ヴィタリしゅうごう）とはジュゼッペ・ヴィタリ（英語版）(Giuseppe Vitali (1905))によって作られたルベーグ不可測な実数集合の基本的な例である。
ヴィタリの定理はそのような集合が存在することを保証する存在定理である。不可算に多くのヴィタリ集合が存在し、それらの存在は選択公理の仮定の下で示される。

ルベーグ測度は平行移動について不変なので λ (V_{k})=λ (V) である。ゆえに、
1 <= Σk=0～∞{λ (V)} <= 3
であるが、これは不可能である。
一つの定数の無限和は 0 であるか無限大に発散するので、いずれにせよ [1, 3] の中には入らない。
すなわち V は可測であってはいけない。
つまりルベーグ測度 λ はいかなる値も λ(V) の値として定義してはいけない。

http://chemicallogical.hatenablog.com/entry/2017/10/09/194528
インフラSE日記
2017-10-09
可算集合のルベーグ測度が0であることの証明
(抜粋)
コルモゴロフが構築した現代確率論を学習するときに、測度論は避けて通ることはできません。そこで、今回は基礎的な定理である「可算集合のルベーグ測度は0である」ということを証明しようと思います。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/949

950: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/28(木) 07:32:42.32 ID:7L3ElMut

>>949

つづき

ちなみに、測度と言えば「掛谷集合」という面白い集合があるのを知っていますか？
掛谷集合とは、以下の性質を満たす集合のことです。
任意の角度の長さ1の線分を含み、測度が0となるような二次元集合が存在する。
不思議な集合ですよね。
もともとは、長さ1の線分を回転させられるような集合で、面積が最小となるような集合は何かという数学者掛谷宗一の問題です。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93
ヒルベルト空間
(抜粋)
数学におけるヒルベルト空間（ヒルベルトくうかん、英: Hilbert space）は、ダフィット・ヒルベルトにその名を因む、ユークリッド空間の概念を一般化したものである。
これにより、二次元のユークリッド平面や三次元のユークリッド空間における線型代数学や微分積分学の方法論を、任意の有限または無限次元の空間へ拡張して持ち込むことができる。
ヒルベルト空間は、内積の構造を備えた抽象ベクトル空間（内積空間）になっており、そこでは角度や長さを測るということが可能である。
ヒルベルト空間は、さらに完備距離空間の構造を備えている（極限が十分に存在することが保証されている）ので、その中で微分積分学がきちんと展開できる。

ヒルベルト空間は、典型的には無限次元の関数空間として、数学、物理学、工学などの各所に自然に現れる。
ヒルベルト空間の例としては、自乗可積分関数の空間 L2、自乗総和可能数列の空間 ?2、超関数からなるソボレフ空間 Hs、正則関数の成すハーディ空間 H2 などが挙げられる。
定義
H がヒルベルト空間であるとは、H は実または複素内積空間であって、さらに内積によって誘導される距離関数に関して完備距離空間をなすことを言う[2]。

完備となるのは、任意のコーシー列がノルムに関する意味で H 内の元に収束することである。完備性は、次のような条件

ベクトル項級数 婆=0～∞(uk) が
婆=0～∞||uk|| < ∞
なる意味で絶対収束するならば、もとの級数は（部分和が H の元に収束するという意味で） H において収束する。
によっても特徴付けることができる。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/950

955: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/28(木) 21:24:02.18 ID:7L3ElMut

>>949
>http://chemicallogical.hatenablog.com/entry/2017/10/09/194528
>可算集合のルベーグ測度が0であることの証明
>コルモゴロフが構築した現代確率論を学習するときに、測度論は避けて通ることはできません

ついでに

（>>915より）
Sergiu Hart氏のPDF http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf
P2
Remark. When the number of boxes is finite Player 1 can guarantee a win
with probability 1 in game1, and with probability 9/10 in game2, by choosing
the xi independently and uniformly on [0, 1] and {0, 1, ・・・, 9}, respectively.
”independently and uniformly”が、独立同分布（IID)を含意

区間[0, 1]から、∀iで、任意の実数 xiを選べば、「ルベーグ測度は0」だから、的中確率も0だ
独立同分布（IID)で、”箱”つまり”i”の範囲は、有限あるいは無限どちらも無関係だ
よって、唯一の分布を考えれば良い。そして、繰返すが、区間[0, 1]から、任意の実を選べば、「ルベーグ測度は0」だから、的中確率も0だ
（時枝記事は、区間[0, 1]→R全体だから、さらに的中は難しい）

さて、∀i xi で確率0が、スタート地点になる！（最初はgoo!でなく、最初は確率0だ）
時枝記事で、最初の１列の無限個の箱∀i xi で確率0
が、時枝記事の並べ変えを行うと、∃i xi で確率99/100になるという

”確率0”は、大学で学ぶ現代確率論（確率過程論）よりの結論
一方”∃i xi で確率99/100”は、数学セミナーの時枝記事よりの結論
∃i xiの箱は、二つの異なる確率0と99/100と、二つの値を取ることになる（矛盾）
かつ
∃i xiの”i”については、そのときの決定番号との関係で、可能性としては、1～∞の値を取り得る
すると、1～∞の値のどの”i”についても、二つの異なる確率 0と99/100と、二つの値を取ることになる（さらに矛盾）

「1～100 のいずれかをランダムに選ぶ」とか、なに言ってるの？
大学で現代確率論を学べば、最初はgoo!ならぬ、”「ルベーグ測度は0」だから、的中確率も0”でしょ？ｗ（＾＾

大学の確率論・確率過程論が理解できない輩（やから）は、度しがたいね
まあ、確率変数の定義、確率変数の族が確率過程論の用語だと分らないようじゃねｗ（＾＾

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/955

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