現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む62

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710: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/22(金) 21:16:17.14 ID:svnlwBS6

>>709
>Author: Jeffrey C. Lagarias

うん？
この人か～ぁ！（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AA%BF%E5%92%8C%E6%95%B0_(%E7%99%BA%E6%95%A3%E5%88%97)
調和数 (発散列)
（Hnは調和数）
応用
2002年にジェフリー・ラガリアス（英語版）は、リーマン予想が「不等式
σ (n)<= Hn+ln(Hn)e^Hn
が任意の自然数 n に対して成立し、かつ n > 1 のときは真の（等号無しの）不等式として成立する」という主張に等価であることを示した。ここで σ(n) は n の約数和である。

https://en.wikipedia.org/wiki/Jeffrey_Lagarias
Jeffrey Clark Lagarias (born November 16, 1949 in Pittsburgh, Pennsylvania, United States) is a mathematician and professor at the University of Michigan.
Lagarias discovered an elementary problem that is equivalent to the Riemann hypothesis, namely whether for all n > 0, we have
σ (n)<= Hn+e^Hn ln Hn
with equality only when n = 1. Here Hn is the nth harmonic number, the sum of the reciprocals of the first n} n positive integers, and σ(n) is the divisor function, the sum of the positive divisors of n.[3]
References
3^ arXiv:math/0008177 https://en.wikipedia.org/wiki/ArXiv Journal reference:"An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis". Amer. Math. Monthly. 109 (6): 534?543.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/710

965: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/29(金) 00:18:33.99 ID:C5XCq4tE

>>696 遠隔レスご容赦（＾＾
https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Mascheroni_constant
Euler-Mascheroni constant
Series expansions
In general,
γ＝lim(n→∞)1+1/2+1/3+…+1/n-log(n+α)≡lim(n→∞)γn(α)
for any α > －n .
However, the rate of convergence of this expansion depends significantly on α .
In particular, γn(1/2) exhibits much more rapid convergence than the conventional expansion γn(0).[7][8]
(引用終り)

log(n+α)＝log n(1+α/n)=log n+log(1+α/n)
として、log(1+x) のマクローリン展開下記で、２次の項を略すと
log(1+x)＝～xだから
log(n+α)＝～log n+α/n
α＝1/2 で、log(n+1/2)＝～log n+1/2n
γn(1/2) ＝～1+1/2+1/3+…+1/2n-log n となって、
γn(0)より、γn(1/2) は、1/2nだけ小さいんだ
この形が収束早いんだね（＾＾

https://mathtrain.jp/logtenkai
高校数学の美しい物語 :2016/01/08
log xのn階微分とテイラー展開
(抜粋)
f(x)=log(1+x) をマクローリン展開します。
log(1+x)=x?(x^2)/2+(x^3)/3?(x^4)/4+・・・
(引用終り)

(>>710より)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AA%BF%E5%92%8C%E6%95%B0_(%E7%99%BA%E6%95%A3%E5%88%97)
調和数 (発散列)
（Hnは調和数）
応用
2002年にジェフリー・ラガリアスは、リーマン予想が「不等式
σ (n)<= Hn+ln(Hn)e^Hn
が任意の自然数 n に対して成立し、かつ n > 1 のときは真の（等号無しの）不等式として成立する」という主張に等価であることを示した。ここで σ(n) は n の約数和である。
(引用終り)

なので、オイラーγにおいて
調和数Hn＝1+1/2+1/3+…+1/n が、数学的に深いというか難しいというか、それはlog nよりHnの方か（ζ並み）（＾＾
log nの方は、下記リンデマンの定理より超越数だしね
なお、当然ながら、Hn－log n という組み合わせも、扱いを一層難しくしている （＾＾；
おっちゃん見てないだろうが、一言（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
超越数
(抜粋)
(2) 初等関数の特殊値が超越数となる例
・代数的数 α ≠ 0, 1 に対する log α 。　(リンデマン)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/965

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