現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む62

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696: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/22(金) 14:20:17.81 ID:WSdp8+VY

>>626
https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Mascheroni_constant
Euler-Mascheroni constant
Series expansions
In general,
γ＝lim(n→∞)1+1/2+1/3+…+1/n-log(n+α)≡lim(n→∞)γn(α)
for any α > －n .
However, the rate of convergence of this expansion depends significantly on α .
In particular, γn(1/2) exhibits much more rapid convergence than the conventional expansion γn(0).[7][8]
This is because
1/{2(n+1)} < γn(0) - γ < 1/(2n)
while
1/{24(n+1)^2} < γn(1/2) < 1/{24(n)^2}
Even so, there exist other series expansions which converge more rapidly than this; some of these are discussed below.
(引用終わり)

γn(1/2)をやってみた（＾＾
オイラーγ およそ0.57721566490

n Σ1/n ln(n+1/2) Σ1/n-ln(n+1/2) [Σ1/n] [ln(n+1/2)] [Σ1/n]-[ln(n++1/2)] [1-[Σ1/n]-[ln(n++1/2)]]
1 1 0.405465108 0.594534892 0 -0.594534892 0.594534892 0.594534892
2 1.5 0.916290732 0.583709268 0.5 0.916290732 -0.416290732 0.583709268
3 1.833333333 1.252762968 0.580570365 0.833333333 0.252762968 0.580570365 0.580570365

10 2.928968254 2.351375257 0.577592997 0.928968254 0.351375257 0.577592997 0.577592997

20 3.597739657 3.020424886 0.577314771 0.597739657 0.020424886 0.577314771 0.577314771

25 3.815958178 3.238678452 0.577279726 0.815958178 0.238678452 0.577279726 0.577279726

1000 7.485470861 6.908255154 0.577215707 0.485470861 0.908255154 -0.422784293 0.577215707

5000 9.094508853 8.517293186 0.577215667 0.094508853 0.517293186 -0.422784333 0.577215667

8000 9.564474984 8.987259319 0.577215666 0.564474984 0.987259319 -0.422784334 0.577215666

9000 9.682251076 9.10503541 0.577215665 0.682251076 0.10503541 0.577215665 0.577215665

10000 9.787606036 9.210390371 0.577215665 0.787606036 0.210390371 0.577215665 0.577215665

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/696

965: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/29(金) 00:18:33.99 ID:C5XCq4tE

>>696 遠隔レスご容赦（＾＾
https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Mascheroni_constant
Euler-Mascheroni constant
Series expansions
In general,
γ＝lim(n→∞)1+1/2+1/3+…+1/n-log(n+α)≡lim(n→∞)γn(α)
for any α > －n .
However, the rate of convergence of this expansion depends significantly on α .
In particular, γn(1/2) exhibits much more rapid convergence than the conventional expansion γn(0).[7][8]
(引用終り)

log(n+α)＝log n(1+α/n)=log n+log(1+α/n)
として、log(1+x) のマクローリン展開下記で、２次の項を略すと
log(1+x)＝～xだから
log(n+α)＝～log n+α/n
α＝1/2 で、log(n+1/2)＝～log n+1/2n
γn(1/2) ＝～1+1/2+1/3+…+1/2n-log n となって、
γn(0)より、γn(1/2) は、1/2nだけ小さいんだ
この形が収束早いんだね（＾＾

https://mathtrain.jp/logtenkai
高校数学の美しい物語 :2016/01/08
log xのn階微分とテイラー展開
(抜粋)
f(x)=log(1+x) をマクローリン展開します。
log(1+x)=x?(x^2)/2+(x^3)/3?(x^4)/4+・・・
(引用終り)

(>>710より)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AA%BF%E5%92%8C%E6%95%B0_(%E7%99%BA%E6%95%A3%E5%88%97)
調和数 (発散列)
（Hnは調和数）
応用
2002年にジェフリー・ラガリアスは、リーマン予想が「不等式
σ (n)<= Hn+ln(Hn)e^Hn
が任意の自然数 n に対して成立し、かつ n > 1 のときは真の（等号無しの）不等式として成立する」という主張に等価であることを示した。ここで σ(n) は n の約数和である。
(引用終り)

なので、オイラーγにおいて
調和数Hn＝1+1/2+1/3+…+1/n が、数学的に深いというか難しいというか、それはlog nよりHnの方か（ζ並み）（＾＾
log nの方は、下記リンデマンの定理より超越数だしね
なお、当然ながら、Hn－log n という組み合わせも、扱いを一層難しくしている （＾＾；
おっちゃん見てないだろうが、一言（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
超越数
(抜粋)
(2) 初等関数の特殊値が超越数となる例
・代数的数 α ≠ 0, 1 に対する log α 。　(リンデマン)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/965

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