現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む62

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690: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/22(金) 11:49:30.14 ID:WSdp8+VY

>>546 補足追加
オイラー定数γ(=lim[n→∞](1+1/2+...+1/n-ln(n)))
(引用終り)

下記ガウス記号にならって、
小数部分: 実数 x に対して，x?[x] を、 D[x] と書く（Decimal＝小数より）

1+1/2+...+1/nの少数部分D[1+1/2+...+1/n]で、これは有理数だが、既約p/qと考えた時、q→∞はすぐ分かる
（下記のオイラー積を思い出せば、良い）
つまり、lim[n→∞](1+1/2+...+1/n)で、オイラー積を持ち、qはすべての素数の積になる。
だから、小数部分 lim[n→∞]D[1+1/2+...+1/n]で、
これ自身は、ある一定値には収束しないと思うが（証明はないけど）
途中のｎが大きい数で、分母が”ｎより小の素数の積”になるだろう（これも証明はしないけど）

で、リンデマンから、対数関数 ln(n)は超越数だから、
lim[n→∞]D[ln(n)] 自身も収束しないと思うが（証明はないけど）
途中のｎが大きい数で、超越数（これは自明）

この初等的な考察から、オイラー定数γ(=lim[n→∞](1+1/2+...+1/n-ln(n)))
は、（収束して）”それはおそらく超越数”というのが、普通の数学の予想でしょ？（＾＾
で、背理法とかで、「オイラー定数γは有理数」とかしてみたい気がするけど
小数部分 lim[n→∞]D[1+1/2+...+1/n]で、分母”qはすべての素数の積”で頓挫する
のが、すぐ分かる

「オイラー定数γは有理数」がもし証明されたら、数学界では大ニュースだろうけど
そうは、ならんと思うよ（＾＾

http://www.mathlion.jp/article/ar006.html
思考力を鍛える数学
ガウス記号の基礎的なこと 2016/5/26
(抜粋)
・整数部分: 実数 x に対して，x を超えない最大の整数がただひとつ存在し，それを [x] と書き，x の整数部分と呼ぶ．
・小数部分: 実数 x に対して，x?[x] を x の小数部分と呼ぶ．
このときの記号 [　] をガウス記号と呼びます．つまり，ガウス記号は実数の整数部分を表すための記号です．

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%A9%8D
オイラー積
オイラー積はディリクレ級数を素数に関する総乗の形で表した無限積である。ディリクレ級数の一種のリーマンのゼータ関数についてこの無限積が成り立つことを証明したレオンハルト・オイラーの名前にちなむ。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/690

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