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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む62 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む62 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/
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688: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/03/22(金) 11:11:55.25 ID:WSdp8+VY >>687 つづく 古典論理との関係 古典論理の体系は次のどれかを公理に追加することによって得られる： ・排中律 ・二重否定除去 ・パースの法則 別の関係性としてはゲーデル＝ゲンツェン変換によるものがある。これは古典一階述語論理が直観主義一階述語論理に埋め込めることを示す。すなわち一階述語論理式が古典論理で証明可能であることと、それをゲーデル・ゲンツェン変換したものが直観主義論理で証明可能であることとが同値となる。 またグリベンコの定理によれば、命題論理式が古典論理で証明可能であることと、それを二重否定したものが直観主義論理で証明可能であることとは同値である。したがって直観主義論理は古典論理を構成的意味論の観点から拡大したものと見做すことができる。 意味論 ハイティング代数意味論 他の論理との関係 直観主義論理は双対性によって矛盾許容論理の一種であり、ブラジリアン論理、反直観主義論理、双対直観主義論理などと呼ばれる論理と対応している。[3] 直観主義論理から爆発原理を取り除いたものは最小論理として知られる。 多値論理との関係 クルト・ゲーデルは1932年に直観主義論理が多値論理ではないことを証明した。（#ハイティング代数意味論は直観主義論理の"無限多値論理"としての解釈の一種と見られる。） 様相論理との関係 直観主義命題論理の論理式は次のように様相命題論理S4の論理式に翻訳できる： ラムダ計算 カリー＝ハワード対応はIPCと直和と直積を持つ単純型付きラムダ計算との間に拡張できる。[5] (引用終わり) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/688
694: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/03/22(金) 12:28:03.88 ID:WSdp8+VY >>691-692 おっちゃん、どうも、スレ主です。 同意だね http://www.ma.kagu.tus.ac.jp/~abe/sub3.html 東京理科大学理学部第一部数学科 教授 安部直人 2012年11月16日 02時56分7 (抜粋) 「背理法では途中に正しくない主張や空論や矛盾が必ず現れる」 のに比して 「対偶法では途中に正しくない主張や空論や矛盾は現われない」 ので、対偶法では直接法と同じに証明は完全理解が可能です。 「背理法を用いて証明される命題は、背理法を用いず証明できる」 ことが分かります。 (数学基礎論入門、前原昭二著、朝倉書店、１９７７年) 背理法は、正しくない中間結果(他へ使えず、理解納得できない)も覚えることになり、丸暗記すると大変危険です。また、背理法に慣れてしまうと、中間結果の数学的意味を (考えても無駄と無意識に悟り)考えない習慣がついて、誤った数学的主張に対して鈍感になります。 (引用終わり) これ、上記（>>687）直観主義論理で （>>687） 「直観主義論理は実際的な有用性を持つ。何故ならばこの制限によって存在具体性を持つ証明が作られるからであり、これは直観主義論理が数学的構成主義のある形態として適当なものとする。非正式には、ある対象が存在することの構成的証明があれば、その構成的証明はそのような対象の例を生成するアルゴリズムとして使える、ということを意味する。」 (>>688) 「ゲーデル＝ゲンツェン変換によるものがある。これは古典一階述語論理が直観主義一階述語論理に埋め込めることを示す。すなわち一階述語論理式が古典論理で証明可能であることと、それをゲーデル・ゲンツェン変換したものが直観主義論理で証明可能であることとが同値となる。」 に対応するだろう http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/694
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