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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む62 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む62 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/
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638: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/03/21(木) 18:10:31.17 ID:L2G86nzK >>614 関連 http://m-hiyama.hatenablog.com/entry/20170824/1503552763 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog) 2017-08-24 述語論理とインデックス付き圏と限量随伴性 命題論理の圏論的対応物としてデカルト閉圏やその拡張があります。述語論理の圏論的対応物はトポスだと思っている方が多いでしょう。確かにトポスがあれば（高階の）述語論理の入念な議論ができますが、トポスは複雑で難しいです。もう少し簡単な圏論的構造で（一階の）述語論理を展開できないでしょうか -- ここでは、インデックス付き圏（indexed category）による述語論理の定式化を紹介します。 (抜粋) 内容： 1.命題論理 2.連言含意論理とデカルト閉圏 3.述語論理 4.インデックス付き圏としての述語モデル 5.シンタックスとセマンティクス 6.変数の型、inとonと変数注釈の使い方 7.全称限量子 8.直積の射影に沿った述語論理 9.随伴の単位と余単位 10.述語論理におけるニョロニョロ 11.おわりに 一階述語論理の概念／用語と圏論の概念／用語の対応は次のようになります。 一階述語論理 圏論 解釈領域X ベース圏Bの対象X（Xは集合） X上の述語P デカルト閉圏Pred[X]の対象P X上の述語のあいだの証明／導出 デカルト閉圏Pred[X]の射 解釈領域のあいだの写像f ベース圏Bの射f（fは写像） 写像fによる述語の引き戻し デカルト閉圏のあいだの閉関手f* 真偽値 デカルト閉圏Pred[1]の対象 連言 デカルト閉圏の直積 含意 デカルト閉圏の指数 論理定数の真 デカルト閉圏の単位対象（＝終対象） 演繹定理 カリー同型Λ 命題論理とは、特定の集合X上のデカルト閉圏Pred[X]だけを考えることです。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/638
639: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/03/21(木) 18:11:01.10 ID:L2G86nzK >>638 つづき 定数、関数、述語の意味： ?0? = (自然数の0) ?0?∈N ?1? = (自然数の1) ?1?∈N ?a? = (自然数の足し算 +N) ?a?∈Map(N×N, N) ?e? = (自然数の等号 =N) ?e?∈Rel(N, N)、Relは二項関係の集合 このような定義の後で、項'a(1,1)'とか論理式'e(a(0,1), a(1,0))'などの意味が計算できます。 ?a(1,1)? = ?a?(?1?,?1?) = +N(1,1) = 自然数としての 1 + 1 = 2 ?e(a(0,1), a(1,0))? = =N(+N(0,1), +N(1,0)) = =N(1, 1) = 自然数に関する命題 “1 = 1” = true どうでしょうか？ しっちめんどくさいなー！ と思いませんか。面倒でもこういうキッチリした議論を一度くらいは体験する価値はあるかも知れません。けど、一度で十分。僕は毎度繰り返す気力はありません。したがって、このテの話は割愛します。 次のような方針にします。 おわりに 僕がこの記事を書いた動機は、ローヴェル流の限量随伴性（quantification adjunction）に付随するニョロニョロ関係式が、自然演繹風証明図の同値変形に対応することを紹介したかったからです。その割には、随伴などの圏論的概念と証明図との関係をあまり述べていません。この辺を述べると、現状の証明図の欠陥を指摘することになり、まーた自然演繹の悪口になります。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/639
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