現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む62

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59: １３２人目の素数さん [sage] 2019/03/08(金) 11:29:25.48 ID:HVq5OYm0

>>57 追加

(引用開始)
スレ61 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1550409146/920
(抜粋)
920 返信：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2019/03/06(水) 21:00:28.46 ID:NUjaXEYj [2/5]
>>914
別に難しいことは言っていない
話しは単純で
ペアノの公理で、自然数の集合で
（>>866より）
自然数が整列集合＝数学的帰納法成立 （公理として同値）
とすれば、
ＺＦから、”自然数が、整列集合 or 数学的帰納法成立”が導けなければいけない
ＺＦだけでね
普通の高校や大学の集合論では、「数学的帰納法は、当然です」と、まあ公理にするか、触れずにすますか（触れても触れなくても似たようなものでしょうが）
それはともかくとして、触れてもせいぜいペアノ公理くらいでお茶濁す
で、ＺＦで、「自然数が整列集合＝数学的帰納法」 （公理として同値なので、どちらを導いても良いが）
に直結するＺＦ中の公理が、フォン・ノイマンの正則性公理だよというだけのことです
(引用終わり)

で、「正則性公理：Given the other axioms of Zermelo-Fraenkel set theory, the axiom of regularity is equivalent to the axiom of induction.
つまりは、ZF上で、正則性公理と帰納法公理は、同値」だから、間違っていないし

但し、>>58 Virtually all results in the branches of mathematics based on set theory hold even in the absence of regularity; see chapter 3 of Kunen (1980).
だから、正則性公理なしでも、自然数が整列集合 or 数学的帰納法成立 （公理として同値） が導けるだろうね

ピエロちゃん、やれよ、その証明を、具体的にさ ｗ（＾＾
前スレで豪語したでしょ？ ホレホレ

そのために、Kunen (1980).のPDF見つけてやったよ（>>58）
ホレホレ

まあ、読めないだろうね、あんたのレベルじゃねｗ（＾＾

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/59

67: １３２人目の素数さん [sage] 2019/03/08(金) 13:57:53.65 ID:HVq5OYm0

(>>59より）
正則性公理なしでも、自然数が整列集合 or 数学的帰納法成立 （公理として同値） が導けるだろうね
ピエロちゃん、やれよ、その証明を、具体的にさ ｗ（＾＾

ところでさ、下記にご注目ｗ（＾＾
”Axiom of infinity
that these members are all different, because if two elements are the same, the sequence will loop around in a finite cycle of sets. The axiom of regularity prevents this from happening.”
とあるので、
The axiom of regularityがないと、
できた無限集合が、どんな集合かわけわからんみたい

それで、自然数が出来たということを確認するのが、大変になりそうだよｗ（＾＾
（The minimal set X の確認）

おれ？ おれは、そんな面倒なことはしないよ～（＾＾
正則性公理採用派だからね

早く、正則性公理無しのZFから、自然数Ｎを構築してさ、整列集合 or 数学的帰納法成立 （公理として同値） の証明頼むよ～ｗ
みんな、やれるかどうか、あんたの能力を見極めようと、期待して待っているよ～ｗ（＾＾

どうせ、できないから、ぐだぐだ言い訳しているんだろうがね

https://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo%E2%80%93Fraenkel_set_theory
Zermelo?Fraenkel set theory
(抜粋)
7. Axiom of infinity
Let S(w) abbreviate w∪{w}, where w is some set.
(We can see that {w}is a valid set by applying the Axiom of Pairing with x=y=w so that the set z is {w}.
Then there exists a set X such that the empty set Φ is a member of X and, whenever a set y is a member of X, then S(y) is also a member of X.
∃ X [Φ ∈ X Λ ∀ y(y∈ X → S(y)∈ X)].
More colloquially, there exists a set X having infinitely many members.
(It must be established, however, that these members are all different, because if two elements are the same, the sequence will loop around in a finite cycle of sets.
The axiom of regularity prevents this from happening.)
The minimal set X satisfying the axiom of infinity is the von Neumann ordinal ω, which can also be thought of as the set of natural numbers Ｎ .
(引用終わり)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/67

170: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/10(日) 19:35:21.42 ID:rk/29Zdt

>>68
>新歓でちょっとした数学の記事を書くんだけど、「数学がZFCから作られていることを実感してもらうためにZFからペアノの公理のモデルでも構成するか」とか思ってたの、難しすぎ感あるな。
二つのコースがあって
１）一つは、前スレ61で下記に示すように、ZF中で正則性公理を使うコース
２）も一つは、ピエロちゃんの、ZF中で正則性公理を使わないコース
(引用終り)

ここ、いままでを纏めると、下記
１．フォン・ノイマンがここで案出した「要素が集合の帰属関係∈ で 整列されるような集合を順序数とする」構成を使って、
　　自然数を構成する。（後述 渕野昌PDF２つと、ペアノの公理 wikipedia ご参照）
２．自然数のペアノの第5公理＝数学的帰納法の公理だけれども（>>140）、
　　これは、自然数が整列集合であることと公理として同値だ（>>59）
３．正則性公理を使えば、これは（ZF公理系下で）帰納法の公理と同値(>>157)なので、自然数が整列集合であることは、即言える
　　あとは、”一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理） 二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[1]。”（>>159）をいう
４．しかし、正則性公理を使わないで、ペアノの第5公理＝数学的帰納法の公理を導くのは、”かがみのホームページ”のやり方だな
　　かがみさんがきちんと出来ているかどうかは、検証していないが、結構しっかり書いていたと思う
　（余談だが、普通の教科書では、ここまで書けない（スペースの問題もあり）し、講義でも時間の関係で詳しくやれないと思う）
５．あと、モストウスキーの崩壊補題 (Mostowski collapse lemma)（>>157）などに触れて
　　”∈を使った順序”とか、”∈-induction”は、結構普遍で、ZFCの中での位置付けを語れば、完璧かもね（＾＾

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/170

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