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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む62 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む62 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/
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574: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/03/20(水) 08:18:32.38 ID:PH/cp/6U 例えば、ボーチャーズのムーンシャイン 「弦理論や頂点作用素代数（英語版）(vertex operator algebra)、一般カッツ・ムーディ代数」を使う部分は 先行文献があった しばしば、数学では大伽藍の最後のピースをはめた人が、証明を完成させたとその功績をたたえられることが多いね フェルマーのワイルズ先生もそれを極度に警戒して、「フェルマーやっている」というのは秘匿したというね https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%83%B3%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%A9%E3%82%B9%E3%83%BB%E3%83%A0%E3%83%BC%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%82%A4%E3%83%B3 モンストラス・ムーンシャイン 数学において、モンストラス・ムーンシャインもしくはムーンシャイン理論とは、モンスター群とモジュラー函数、特に j-不変量との間の予期せぬ関係を指し示す用語、およびそれを記述する理論である。 1979年にジョン・コンウェイ(John Conway)とシモン・ノートン（英語版）(Simon Norton)により命名された。 今ではその背景として、モンスター群を対称性として持つある共形場理論があることが知られている。 コンウェイとノートンによって考案されたムーンシャイン予想は1992年、リチャード・ボーチャーズ(Richard Borcherds)により、弦理論や頂点作用素代数（英語版）(vertex operator algebra)、一般カッツ・ムーディ代数を用いて証明された。 ボーチャーズの証明 リチャード・ボーチャーズ(Richard Borcherds)のコンウェイとノートンによる予想の証明は、次の主要なステップに分けることができる。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/574
575: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/03/20(水) 08:18:50.65 ID:PH/cp/6U >>574 つづき 1.自己同型による M の作用と次数つき次元 j を持つ頂点代数 V から始める。これがムーンシャインか群によってもたらされ、モンスター頂点代数とか、モンスターVOAとかと呼ばれる。 2.モンスターリー代数（英語版）と呼ばれるリー代数 {\displaystyle {\mathfrak {m}}} \mathfrak{m} は量子化函手を使い V から構成される。このリー代数が、自己同型によるモンスター作用を持つ一般カッツ・ムーディリー代数である。 弦理論のゴダード・ソーンの「ノーゴースト」定理（英語版）(Goddard?Thorn "no-ghost" theorem)を使い、余地の重なりが j の係数であることを発見した。 3.ルートの多重度を比較することにより、2つのリー代数が同型であることが分かり、特に {\displaystyle {\mathfrak {m}}} \mathfrak{m} のワイルの分母公式(Weyl denominator formula)は正確に小池・ノートン・ザギア恒等式に一致する。 4.リー代数ホモロジー（英語版）とアダムズ作用素（英語版）を使うことにより、ツイストされた分母公式は、各々の元に対してあたえられる。これらの等式は、マッカイ・トンプソンの級数 Tg の多くの同じ方法で関係づけられている。同じ方法とは、小池・ノートン・ザギアの恒等式が j に関連付ける方法である。 5.ツイストされた分母公式は、Tg の係数の再帰的な関係式を意味していて、これらの関係式は充分に強力で、最初の 7つの項がコンウェイ・ノートンにより与えられた函数に一致することを検証に必要に充分である。 このようにして、証明は完成した(Borcherds (1992))。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/575
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