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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む62 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む62 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/
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541: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/03/19(火) 14:59:13.13 ID:aUzQchWS >>325 おっちゃんなら、知っていると思うが、ご参考（＾＾ https://www.amazon.co.jp/dp/4320018850 オイラーの定数ガンマ ―γで旅する数学の世界― 単行本 ? 2009/5/23 共立出版 Julian Havil (著), 新妻 弘 (翻訳) 内容紹介 本書は,π,e,i に続く第4の重要な定数である「オイラー定数 γ」を象徴的に取り上げて,対数,調和級数,素数などに関連する諸々の解説を歴史的な文脈の中で展開していく。 オイラー自身が言っているように,γを探求していくと必然的に真剣に研究する価値のある数学へと行きつく。 名高い素数定理や畏敬すべきリーマン予想にまでつながっていく様を目の当たりにしながら,数学がいかに魅力的で面白いかを感じてほしい。 [原著 Julian Havil: GAMMA: Exploring Euler's Constant, Princeton University Press, 2003] ゴルゴ十三 殿堂入りVINEメンバー 5つ星のうち4.0対数と調和級数が身近に感じられるようになる本。難易度はかなり高め。 オイラー定数γ(=lim[n→∞](1+1/2+...+1/n-ln(n)))を軸にして、関連する対数関数(ln(x))・調和級数(1+1/2+...+1/n)の話題が幅広く取り上げられています。 本書の前半では「なぜ対数が考えられたのか？」という歴史的経緯まで掘り下げています。(つまり乗法を加法に変換するためにどれだけの知的努力が払われたのかが明らかにされます。例：ネイピアの対数・ネイピアの骨) そして調和級数の様々な性質、γの様々な表現、素数研究の入り口とも言える"ζ関数"?"オイラー積"なども丁寧に解説されます。 本書の後半では、身近にある調和級数の話題・対数の話題(情報のエントロピー、ベンフォードの法則 等)から素数定理?リーマン予想について解説されています。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/541
542: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/03/19(火) 15:06:05.97 ID:aUzQchWS >>541 追加 古そうなQ&Aだけど（＾＾； https://www.sci.osaka-u.ac.jp/ja/ 大阪大学数学科 https://www.sci.osaka-u.ac.jp/ja/qa/ Q&A https://www.sci.osaka-u.ac.jp/ja/wp-content/themes/rigaku/qa-pdf/qa4.pdf 私が独自に導出した式が既に知られているか教えてください。 Q 数学科を志望している高校2年の学生です。 高校の数学授業内容とは全く関係ありませんが、個人的に EulerGamma 定数を調べています。 定義式 γ=limn→∞{Σk=1→n{1/k} - log(n)} で表される以外に無限級数を用いた表現方法等、知られていましたら教えてください。 具体的には、私が独自に導出した式 γ＝Σn=1→∞{Σk=2→∞{(-1)k*(1/(knk))}} という式が既に知られているかどうかを教えてください。 A ご質問にあった公式は、たとえば http://mathworld.wolfram.com/Euler-MascheroniConstant.html の(14)式にあります。 ちなみに、この「MathWorld」のサイトはオンライン数学辞典として便利なものです。 EulerGamma 定数に収束する級数は数値計算に便利なものがありません。 最近の本には、あまり説明されていないようです。ご質問にあった公式を改良した公式として Cn= 1+ 1/2 + ... + 1/n - log(n+1/2) について γ = Cn -2 Σp:n+1→∞Σk:1→∞1/(2k+1)*1/(2p)2k+1 という公式が数値計算に使われていたようです。この公式を導くヒントを示しておきます： γ= Cn - (Cn - Cn+1) - (Cn+1 - Cn+2) -... また、EulerGamma 定数の積分表示式が、「数学公式III」（岩波全書）13ページにいくつか紹介されています。 被積分函数を適当に級数展開することにより、さまざまな形の級数表示を得ることができるでしょう。 ガンマ函数の入門書として、現在発売されている本： ・「ガンマ関数入門」（日本評論社） ・E.アルティン／著、上野健爾／訳・解説 数値解析に詳しい本（入手困難と思います）： ・「ガンマ函数の理論と応用」柴垣和三雄, 岩波書店（1952） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/542
543: １３２人目の素数さん [sage] 2019/03/19(火) 17:22:30.28 ID:9hbLlIq1 >>539 >お大事にしてください。 まあね。本当に医学の素人の判断は禁物だね。 >>541 オイラーの定数γは素数やリーマンのζ関数と深い関係があるが、 その本は読む気がしない。それらについては Dover の Riemann's Zeta Function (Pure and Applied Mathematics (Academic Press), 58.) が詳しい。大学のとき、他の Dover のフーリエ解析の本を使ってフーリエ解析を駆使して 素数定理を導くことをしていたという東大の名誉教授がいたけど、この人がしていることは凄かったようだ。 この東大の名誉教授は、私の出身大学の少ないマトモな教授の中の一人だったと思う。 それじゃ、おっちゃんもう寝る。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/543
546: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/03/19(火) 20:47:43.88 ID:EYNP5QFV >>541 補足 オイラー定数γ(=lim[n→∞](1+1/2+...+1/n-ln(n))) (引用終り) lim[n→∞]で、もし有限のnで打ち切ると 下記リンデマンから、対数関数 ln(n)は超越数だ 一方、1+1/2+...+1/n は、明らかに有理数 1+1/2+...+1/n-ln(n) は、明らかに超越数（∵ 有理数−超越数＝超越数 ） つまり、任意の有限のnでγn= 1+1/2+...+1/n-ln(n) とかくと、γnは常に超越数！ もし、”lim[n→∞]で、γn→有理数” と予想する人は、殆どいないだろう よほど、なにか有力な数学的な根拠がなければね（＾＾ ま、おっちゃんらしいな（＾＾； https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0 超越数 (2) 初等関数の特殊値が超越数となる例 ・代数的数 α ≠ 0, 1 に対する、 log α 。 (リンデマン) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E6%95%B0 オイラー・マスケローニ定数 (英: Euler-Mascheroni constant)[1]、オイラーのγ (英: Euler's gamma) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/546
556: １３２人目の素数さん [sage] 2019/03/20(水) 03:09:15.21 ID:81k/x+R6 おっちゃんです。 >>541 名前の一端を覚えていたので検索したら出て来た。その東大名誉教授が使っていた本は The fourier integral and certain of its applications ( Dover Books on Science ) だった。読んだことは何ともいえんが、素数定理や池原の定理とやらが書いてあって、Dover の Riemann's Zeta Function (Pure and Applied Mathematics (Academic Press), 58.) 程は詳しくないと思う。見たところ、前者の本は解析よりの本のようだ。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/556
559: １３２人目の素数さん [sage] 2019/03/20(水) 03:45:22.30 ID:81k/x+R6 >>549 間違っているとして挙げた正確な具体例は覚えてないが、 確か √2 ではなく 1/√2 だったかも知れない。 だが、これも具体的な発散級数の正則化の形の極限で表されていないことには変わりがない。 >>541 読んだことは何ともいえんが → 読んだことはなく何ともいえんが http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/559
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