現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む62

[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む62 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞
抽出解除ﾚｽ栞

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

399: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/16(土) 22:18:18.65 ID:B5CZ4/Lr

>>398

つづき

(抜粋)
3. 整礎原理
まず次の考え方をとることにする。

自分自身を含むような集合は存在しない。
これを採用するのは、必ずしもパラドクスを避けるためではない。
たとえば「集合とは要素を集めたものである」という見方を取ると、論理的な順序としてまず要素があってからそれらを含んでいる集合が存在しているので、集合が自分自身を含んでいるのはそもそもおかしいことになる(一方、概念と集合の存在を結びつける内包公理の見方では、ある概念がその概念自身にも当てはまることがあるのだから、ある集合がその集合自身に含まれていても別におかしくはない)。
また別の理由として、自分自身を含む集合を認めると集合の同一性が外延公理だけでは決まらない(のが嫌だ)というものがある。
自分自身だけを含むような集合としてaとbを取ったとする。
a={a}
b={b}
が成り立っている。このとき、aとbは等しいだろうか。
内包公理のもとでは、aの存在もbの存在も何らかの概念P(x),Q(x)によっている。
a={x|P(x)}
b={x|Q(x)}
したがってP(x),Q(x)を見ることでaとbが等しいかどうかを調べることができる。
しかし内包公理を取らない立場では、aとbが等しいかどうかを判断するためには何らかの新しい原理が必要になる。そして、そのような新たな原理を積極的に提案するよりも初めから自分自身を含むような集合を排除して考えようということになる(この場合必ずしも自分自身を含む集合は存在しないと強く主張する必要はなくて、そういうものは排除した範囲で考えようという立場かもしれない)。
いずれにしても自分自身を含む集合を認めないなら、同様の理由で
a∈b∈aとかa∈b∈c∈aとなるような集合も認められない。もっと一般的に
a1∋a2∋a3∋a4∋a5∋…
となるようなものは認められない(自分自身を含む集合はa∋a∋a∋…となりこれに反している)。「まず要素があってから集合がある」という考え方によればこのような集合は存在しないし、このような集合の同一性は外延公理だけでは決まらないので。
このような集合が存在しないことを整礎原理と呼ぶことにする。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/399

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 2.345s*