現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む62

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318: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/16(土) 11:33:16.99 ID:B5CZ4/Lr

>>316 追加

ここ、尾畑伸明先生（下記）に詳しい解説があったね（＾＾
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大学大学院情報科学研究科 システム情報科学専攻 尾畑研究室－システム情報数理学II研究室－
尾畑伸明：集合・写像・数の体系　数学リテラシーとして
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-3_shugo-enzan.pdf
第3章 集合の演算 GAIRON-book : 2018/6/21(19:23)
P45
(S9) 基礎の公理 空でない集合 A には, すべての y ∈ A に対して y not∈ x を満たす x ∈ A が存在する.4)
∀A(A ≠ Φ → ∃x ∈ A∀y ∈ A(y not∈ x))
4)順序集合における用語を流用して, このような x を ∈ に関する A の極小元という.

以上の公理から導かれる簡単な性質をいくつか述べておこう.

補 題 3.14 x ∈ y と y ∈ x を同時に満たす集合 x, y は存在しない.
証 明 まず, 2 つの集合 x, y に対して, 対の公理によって A = {x, y} も集合である.
もし x ∈ y と y ∈ x が同時に成り立てば, A に基礎の公理を適用して,
x または y が極小元になる.
前者であれば x not∈ x と y not∈ x が同時に成り立ち,
後者であれば x not∈ y と y not∈ y が同時に成り立つことになるが,
いずれも仮定に反する.
したがって, x ∈ y と y ∈ x は両立しない.

定 理 3.15 集合 x, y に対して次が成り立つ.
(1) x ∈ x を満たす集合は存在しない.
(2) x ∈ y, x = y, y ∈ x のうち高々1 つだけ成り立つ.
(3) {x} ⊂ x を満たす集合 x は存在しない.
したがって, x = {x} を満たす集合も存在しない.
証 明
(1) 補題 3.14 において x = y とおけば, x ∈ x を満たす集合は存在しないことがわかる.
(2) (1) と補題 3.14 を合わせればよい.
(3) {x} ⊂ x から x ∈ x が得られて (1) に矛盾する.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/318

397: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/16(土) 20:33:01.61 ID:B5CZ4/Lr

>>316-318 <まとめ>
http://blacaman.tripod.com/cursos/pdf/2012-2_0941.pdf
An Introduction to Independence Proofs K KUNEN/キューネン First edition: 1980 Seventh impression: 1999 （藤田 博司 (翻訳)）
P100
§4. The Axiom of Foundation
AXIOM 2. Foundation.
∀x(∃y(y∈x)→∃y(y∈x ∧ ￢∃z(z∈x ∧ z∈y))).
Equivalently, if x ≠ 0, ∃y ∈ X (x ∩ y = 0),
（参考：x ∈ A ∩ B ←→ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) (3.2)、
　z∈x ∧ z∈y → z ∈ x ∩ y、
　￢∃z(z∈x ∧ z∈y) → z＝0 つまり x ∩ y = 0）
or every non-empty set has an ∈-minimal element,

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
正則性公理
(引用開始)
定義
空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ。
∀ A(A ≠ Φ → ∃ x ∈ A ∀t ∈ A(t not∈ x))
以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。
・任意の空でない集合xに対して、 ∃ y ∈ x,x∩y=0
・∀xについて、無限下降列である x ∋x_1 ∋x_2 ∋... は存在しない。

http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大学大学院情報科学研究科 システム情報科学専攻 尾畑伸明
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-3_shugo-enzan.pdf
第3章 集合の演算 GAIRON-book : 2018/6/21(19:23)
P45
(S9) 基礎の公理 空でない集合 A には, すべての y ∈ A に対して y not∈ x を満たす x ∈ A が存在する.4)
∀A(A ≠ Φ → ∃x ∈ A∀y ∈ A(y not∈ x))
4)順序集合における用語を流用して, このような x を ∈ に関する A の極小元という.
(引用終り)

これ
「２）∈を使った順序で、∈に等号（=）を含ませず、極小元を保証しているものだという視点」(>>194)
　で、極端な表現として不等号＜を使って書く
・極小元を、x_minとする。∈を、等号（=）を含まない、不等号＜に書き換える
　すると
・∃x_min ＜ A ∀y ∈ A (y not＜ x_min) （尾畑）
　となる
・つまり、極小元x_min に対し、全てのy ∈ Aは "y not＜ x_min" だと
　こう書き換えると、当たり前ですね

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/397

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