[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む62 (1002ﾚｽ)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む62 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/

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317: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/03/16(土) 09:54:41.78 ID:B5CZ4/Lr >>316 つづき P101 Foundation does rule out certain pathologies. For example, we remarked in §2 that there is no x ∈ WF such that x ∈ x, so Foundation implies that ¬∃x (x ∈ x) (or, apply the axiom directly to show ∃y ∈ {x} (y ∩ {x} = 0), so x ∩ {x} = 0, or x not∈ x). Likewise, there cannot be an x, y with x ∈ y ∧ Y ∈ X (or, apply the axiom directly to {x, y}). (引用終り) ”there cannot be an x, y with x ∈ y ∧ Y ∈ X (or, apply the axiom directly to {x, y})” について the axiom directly to {x, y}なので、c＝{x, y}とおくと AXIOM 2. Foundation より ∀x(∃y(y∈x)→∃y(y∈x ∧ ¬∃z(z∈x ∧ z∈y))) 　↓ 　C(∃y(y∈C)→∃y(y∈C ∧ ¬∃z(z∈C ∧ z∈y))) ここで、zとしてxを取る。x∈C (={x, y}) かつ、仮定よりx ∈ y よって ∃x(x∈C ∧ x∈y) 　↓ ∃z(z∈C ∧ z∈y)が成立して、 AXIOM 2. Foundationに矛盾する。 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/317

397: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/03/16(土) 20:33:01.61 ID:B5CZ4/Lr >>316-318 <まとめ> http://blacaman.tripod.com/cursos/pdf/2012-2_0941.pdf An Introduction to Independence Proofs K KUNEN/キューネン First edition: 1980 Seventh impression: 1999 （藤田 博司 (翻訳)） P100 §4. The Axiom of Foundation AXIOM 2. Foundation. ∀x(∃y(y∈x)→∃y(y∈x ∧ ¬∃z(z∈x ∧ z∈y))). Equivalently, if x ≠ 0, ∃y ∈ X (x ∩ y = 0), （参考：x ∈ A ∩ B ←→ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) (3.2)、 　z∈x ∧ z∈y → z ∈ x ∩ y、 　¬∃z(z∈x ∧ z∈y) → z＝0 つまり x ∩ y = 0） or every non-empty set has an ∈-minimal element, https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86 正則性公理 (引用開始) 定義 空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ。 ∀ A(A ≠ Φ → ∃ x ∈ A ∀t ∈ A(t not∈ x)) 以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。 ・任意の空でない集合xに対して、 ∃ y ∈ x,x∩y=0 ・∀xについて、無限下降列である x ∋x_1 ∋x_2 ∋... は存在しない。 http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/ 東北大学大学院情報科学研究科 システム情報科学専攻 尾畑伸明 http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-3_shugo-enzan.pdf 第3章 集合の演算 GAIRON-book : 2018/6/21(19:23) P45 (S9) 基礎の公理 空でない集合 A には, すべての y ∈ A に対して y not∈ x を満たす x ∈ A が存在する.4) ∀A(A ≠ Φ → ∃x ∈ A∀y ∈ A(y not∈ x)) 4)順序集合における用語を流用して, このような x を ∈ に関する A の極小元という. (引用終り) これ 「２）∈を使った順序で、∈に等号（=）を含ませず、極小元を保証しているものだという視点」(>>194) 　で、極端な表現として不等号＜を使って書く ・極小元を、x_minとする。∈を、等号（=）を含まない、不等号＜に書き換える 　すると ・∃x_min ＜ A ∀y ∈ A (y not＜ x_min) （尾畑） 　となる ・つまり、極小元x_min に対し、全てのy ∈ Aは "y not＜ x_min" だと 　こう書き換えると、当たり前ですね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/397

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