[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む62 (1002ﾚｽ)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む62 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/

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316: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/03/16(土) 09:52:59.90 ID:B5CZ4/Lr >>205 補足（キューネン読んで） （>>58） http://blacaman.tripod.com/cursos/pdf/2012-2_0941.pdf An Introduction to Independence Proofs K KUNEN 著 First edition: 1980 Seventh impression: 1999 https://www.amazon.co.jp/dp/4535783829/ref=pd_lpo_sbs_14_t_1?_encoding=UTF8&psc=1&refRID=8NKTZE2Q63MR3BRQEWQX 集合論―独立性証明への案内 単行本 ? 2008/1/1 ケネス キューネン (著), Kenneth Kunen (原著), 藤田 博司 (翻訳) P100 §4. The Axiom of Foundation AXIOM 2. Foundation. ∀x(∃y(y∈x)→∃y(y∈x ∧ ¬∃z(z∈x ∧ z∈y))). Equivalently, if x ≠ 0, ∃y ∈ X (x ∩ y = 0), or every non-empty set has an ∈-minimal element, or, if we extend the definition of well-founded to proper classes (see §5), ∈ is well-founded on V. (引用終り) ”if x ≠ 0, ∃y ∈ X (x ∩ y = 0)”について http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/ 東北大学大学院情報科学研究科 システム情報科学専攻 尾畑研究室−システム情報数理学II研究室− 尾畑伸明：集合・写像・数の体系　数学リテラシーとして http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-3_shugo-enzan.pdf 第3章 集合の演算 GAIRON-book : 2018/6/21(19:23) P34 x ∈ A ∩ B ←→ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) (3.2) (引用終り) なので z∈x ∧ z∈y → z ∈ x ∩ y ¬∃z(z∈x ∧ z∈y) → z＝0 つまり x ∩ y = 0 よって AXIOM 2. Foundation. ∀x(∃y(y∈x)→∃y(y∈x ∧ ¬∃z(z∈x ∧ z∈y))). 　↓ if x ≠ 0, ∃y ∈ X (x ∩ y = 0) こっちの表現で記されているものが多い 多分、上の”AXIOM 2. Foundation”では、x,y,zと３つ出てくるが、こっちの表現だとx,yの２つで、よりシンプルってことだろうね でも、x,y,zと３つ使う表現も、それはそれで意味あるんだろうね（キューネン先生が書いているんだから（＾＾ ） つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/316

317: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/03/16(土) 09:54:41.78 ID:B5CZ4/Lr >>316 つづき P101 Foundation does rule out certain pathologies. For example, we remarked in §2 that there is no x ∈ WF such that x ∈ x, so Foundation implies that ¬∃x (x ∈ x) (or, apply the axiom directly to show ∃y ∈ {x} (y ∩ {x} = 0), so x ∩ {x} = 0, or x not∈ x). Likewise, there cannot be an x, y with x ∈ y ∧ Y ∈ X (or, apply the axiom directly to {x, y}). (引用終り) ”there cannot be an x, y with x ∈ y ∧ Y ∈ X (or, apply the axiom directly to {x, y})” について the axiom directly to {x, y}なので、c＝{x, y}とおくと AXIOM 2. Foundation より ∀x(∃y(y∈x)→∃y(y∈x ∧ ¬∃z(z∈x ∧ z∈y))) 　↓ 　C(∃y(y∈C)→∃y(y∈C ∧ ¬∃z(z∈C ∧ z∈y))) ここで、zとしてxを取る。x∈C (={x, y}) かつ、仮定よりx ∈ y よって ∃x(x∈C ∧ x∈y) 　↓ ∃z(z∈C ∧ z∈y)が成立して、 AXIOM 2. Foundationに矛盾する。 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/317

318: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/03/16(土) 11:33:16.99 ID:B5CZ4/Lr >>316 追加 ここ、尾畑伸明先生（下記）に詳しい解説があったね（＾＾ http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/ 東北大学大学院情報科学研究科 システム情報科学専攻 尾畑研究室−システム情報数理学II研究室− 尾畑伸明：集合・写像・数の体系　数学リテラシーとして http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-3_shugo-enzan.pdf 第3章 集合の演算 GAIRON-book : 2018/6/21(19:23) P45 (S9) 基礎の公理 空でない集合 A には, すべての y ∈ A に対して y not∈ x を満たす x ∈ A が存在する.4) ∀A(A ≠ Φ → ∃x ∈ A∀y ∈ A(y not∈ x)) 4)順序集合における用語を流用して, このような x を ∈ に関する A の極小元という. 以上の公理から導かれる簡単な性質をいくつか述べておこう. 補 題 3.14 x ∈ y と y ∈ x を同時に満たす集合 x, y は存在しない. 証 明 まず, 2 つの集合 x, y に対して, 対の公理によって A = {x, y} も集合である. もし x ∈ y と y ∈ x が同時に成り立てば, A に基礎の公理を適用して, x または y が極小元になる. 前者であれば x not∈ x と y not∈ x が同時に成り立ち, 後者であれば x not∈ y と y not∈ y が同時に成り立つことになるが, いずれも仮定に反する. したがって, x ∈ y と y ∈ x は両立しない. 定 理 3.15 集合 x, y に対して次が成り立つ. (1) x ∈ x を満たす集合は存在しない. (2) x ∈ y, x = y, y ∈ x のうち高々1 つだけ成り立つ. (3) {x} ⊂ x を満たす集合 x は存在しない. したがって, x = {x} を満たす集合も存在しない. 証 明 (1) 補題 3.14 において x = y とおけば, x ∈ x を満たす集合は存在しないことがわかる. (2) (1) と補題 3.14 を合わせればよい. (3) {x} ⊂ x から x ∈ x が得られて (1) に矛盾する. つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/318

397: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/03/16(土) 20:33:01.61 ID:B5CZ4/Lr >>316-318 <まとめ> http://blacaman.tripod.com/cursos/pdf/2012-2_0941.pdf An Introduction to Independence Proofs K KUNEN/キューネン First edition: 1980 Seventh impression: 1999 （藤田 博司 (翻訳)） P100 §4. The Axiom of Foundation AXIOM 2. Foundation. ∀x(∃y(y∈x)→∃y(y∈x ∧ ¬∃z(z∈x ∧ z∈y))). Equivalently, if x ≠ 0, ∃y ∈ X (x ∩ y = 0), （参考：x ∈ A ∩ B ←→ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) (3.2)、 　z∈x ∧ z∈y → z ∈ x ∩ y、 　¬∃z(z∈x ∧ z∈y) → z＝0 つまり x ∩ y = 0） or every non-empty set has an ∈-minimal element, https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86 正則性公理 (引用開始) 定義 空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ。 ∀ A(A ≠ Φ → ∃ x ∈ A ∀t ∈ A(t not∈ x)) 以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。 ・任意の空でない集合xに対して、 ∃ y ∈ x,x∩y=0 ・∀xについて、無限下降列である x ∋x_1 ∋x_2 ∋... は存在しない。 http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/ 東北大学大学院情報科学研究科 システム情報科学専攻 尾畑伸明 http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-3_shugo-enzan.pdf 第3章 集合の演算 GAIRON-book : 2018/6/21(19:23) P45 (S9) 基礎の公理 空でない集合 A には, すべての y ∈ A に対して y not∈ x を満たす x ∈ A が存在する.4) ∀A(A ≠ Φ → ∃x ∈ A∀y ∈ A(y not∈ x)) 4)順序集合における用語を流用して, このような x を ∈ に関する A の極小元という. (引用終り) これ 「２）∈を使った順序で、∈に等号（=）を含ませず、極小元を保証しているものだという視点」(>>194) 　で、極端な表現として不等号＜を使って書く ・極小元を、x_minとする。∈を、等号（=）を含まない、不等号＜に書き換える 　すると ・∃x_min ＜ A ∀y ∈ A (y not＜ x_min) （尾畑） 　となる ・つまり、極小元x_min に対し、全てのy ∈ Aは "y not＜ x_min" だと 　こう書き換えると、当たり前ですね http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/397

422: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/03/17(日) 11:02:24.33 ID:gAStfvWk >>416 ＞順序数αが順序数の集合Cの最小元である⇔α∩C＝\emptyset というのは、どうも確かめる度にぱずりんぐ (>>397より) ・極小元を、x_minとする。∈を、等号（=）を含まない、不等号＜に書き換える 　↓ ・極小元を、x_minとする。∈は不等号＜と考えるが書き換えはなし として、 下記で、y→y_minとして（>>397より） http://blacaman.tripod.com/cursos/pdf/2012-2_0941.pdf An Introduction to Independence Proofs K KUNEN/キューネン First edition: 1980 Seventh impression: 1999 （藤田 博司 (翻訳)） P100 §4. The Axiom of Foundation AXIOM 2. Foundation. ∀x(∃y_min (y_min ∈x)→∃y_min (y_min ∈x ∧ ¬∃z(z∈x ∧ z∈y_min))). Equivalently, if x ≠ 0, ∃y_min ∈ x (x ∩ y_min = 0), （参考：x ∈ A ∩ B ←→ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) (3.2) (>>316 尾畑伸明) 　z∈x ∧ z∈y_min ←→ z ∈ x ∩ y_min、 　¬∃z(z∈x ∧ z∈y_min) → z＝0 つまり x ∩ y_min = 0） or every non-empty set has an ∈-minimal element, となる （補足） ・y_min ∈x で、y_minは極小元 ・z∈xで、xの元で z∈y_min なるzがあると、（かつ ∈を、不等号＜と考えると）、y_minが極小元であることに反する 　↓↑ ”∀x(∃y_min (y_min ∈x)→∃y_min (y_min ∈x ∧ ¬∃z(z∈x ∧ z∈y_min))). 　Equivalently, if x ≠ 0, ∃y_min ∈ x (x ∩ y_min = 0),” 　言われて見ると、そうかという感じだが 　そう言われても、なかなか理解しずらいね 　特に、”∈を、等号（=）を含まない、不等号＜と考える”という視点を入れないと、なかなか見えづらい 　”∈を、不等号＜（等号（=）含まず）と考える”という視点は、 　上記の後で 　”x∈x”不成立とか、”x∈y ∧ y∈x”は不成立とかの中から、もやっと出てくるのだが・・（＾＾ 　こういう低レベルの表現は、だれもしてくれない 　まあ「ぱずりんぐ」ですよね（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/422

538: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/03/19(火) 08:47:49.40 ID:EYNP5QFV >>537 つづき (>>397より) ・極小元を、x_minとする。∈を、等号（=）を含まない、不等号＜に書き換える 　↓ ・極小元を、x_minとする。∈は不等号＜と考えるが書き換えはなし として、 下記で、y→y_minとして（>>397より） http://blacaman.tripod.com/cursos/pdf/2012-2_0941.pdf An Introduction to Independence Proofs K KUNEN/キューネン First edition: 1980 Seventh impression: 1999 （藤田 博司 (翻訳)） P100 §4. The Axiom of Foundation AXIOM 2. Foundation. ∀x(∃y_min (y_min ∈x)→∃y_min (y_min ∈x ∧ ¬∃z(z∈x ∧ z∈y_min))). Equivalently, if x ≠ 0, ∃y_min ∈ x (x ∩ y_min = 0), （参考：x ∈ A ∩ B ←→ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) (3.2) (>>316 尾畑伸明) 　z∈x ∧ z∈y_min ←→ z ∈ x ∩ y_min、 　¬∃z(z∈x ∧ z∈y_min) → z＝0 つまり x ∩ y_min = 0） or every non-empty set has an ∈-minimal element, （補足） ・y_min ∈x で、y_minは極小元 ・z∈xで、xの元で z∈y_min なるzがあると、（かつ ∈を、不等号＜と考えると）、y_minが極小元であることに反する 　↓↑ ”∀x(∃y_min (y_min ∈x)→∃y_min (y_min ∈x ∧ ¬∃z(z∈x ∧ z∈y_min))). 　Equivalently, if x ≠ 0, ∃y_min ∈ x (x ∩ y_min = 0),” 　言われて見ると、そうかという感じ まあ、基礎の公理（正則性公理）は、集合の宇宙を規定しているという見方と それを裏から見れば、∈−順序が、等号（＝）を含まない不等号”＜”の性質だと規定していると見ることもできるね そういう、裏から見たり、表から見たり、上から見たりと（＾＾ 多角的に見るのが、理解の早道と思う 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/538

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