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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む62 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む62 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/
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254: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/03/15(金) 07:31:02.34 ID:wvBN32BE >>253 つづき https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%8A%A0%E9%80%9F%E5%AE%9A%E7%90%86 ゲーデルの加速定理 この定理によれば、弱い形式的体系では非常に長い形式的証明しか存在しないが、より強い形式的体系では極めて短い形式的証明が存在する、というような文が存在する。 クルト・ゲーデルはそのような性質を持つ文を具体的に構成した。それはn階算術の体系で証明可能な命題であってn+1階算術ではより短い証明を持つものが存在するというものである。類似の例として最短の形式的証明がとてつもなく長大となる文を構成しよう。形式化された対角線論法によって φ「この文は高々グーゴルプレックス個の記号からなる（ペアノ算術からの）形式的証明を持たない」 なる内容的意味を持つ文を構成する。（ここで「グーゴルプレックス個の記号からなる」という部分を取り除くと不完全性定理の決定不能な文が得られる。）コーディングを工夫すれば φ がΣ1論理式となるようにできる。 (引用終り) 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/254
291: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/03/15(金) 21:01:54.02 ID:wvBN32BE >>254 追加 http://fuchino.ddo.jp/index-j.html 渕野先生 http://fuchino.ddo.jp/papers/speedup-th.pdf 数学と集合論 ゲーデルの加速定理の視点からの考察 渕野昌 科学基礎論研究 (2018) P812 上で書いた ように，現代の集合論では，集合論の体系内数学と超 数学の間を行き来する議論のスタイルが通常となって いる． 1960 年代以降の集合論研究では，加速定理現象を 直接意識したものではないにしても，(多くの場合は無 矛盾性の強さの異る) 異る公理系の体系の間や，集合 論の体系の中での議論と超数学との間を，頻繁に往復 しながら研究を行なう，というスタイルの数学が恒常 的に行なわれるようになってきている．そのような研 究の典型的な例として，Saharon Shelah による基数 算術(Cardinal Arithmetic) の理論を挙げることがで きる28．この理論の本体はZFC での数学理論である が，そこでは，もともとは可測基数との関連で導入さ れた超積による論法や，超積を必ずしも超フィルター でないフィルターに一般化したreduced product を 用いる論法，強制拡大や，巨大基数の下での状況の知 見やそこでの論法のアナロジーによるZFC での議論 などが駆使され，ZFC で成立しうる理論の可能性(の うち人間にとってeligible なもの) の限界への挑戦が なされている．加速定理現象(の，このような研究に よる回避) が，人間にとっての証明の限界を押し広げ てくれる可能性が高いように思える． 集合論の一般位相空間論，代数，解析などへの応用 の研究などを除くと，このような集合論の複数の拡張， 論理学の積極的な活用や数学と超数学の間の視点を含 む研究形態は，集合論以外の数学の研究分野ではまだ 見られることの少ないものであるが29，来たる22 世 紀の数学の究極の姿の可能性の一つを示しているもの とも考えられるだろう．上で議論したような意味での 加速定理の解釈が，数学の未来がこのような超数学を 内包するスタイルの数学研究に向わざるを得ない，と いう主張の正統性に対する主要な論拠の一つとなって いる，と筆者は考えるものである． http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/291
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