[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む62 (1002ﾚｽ)

現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む62 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/

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202: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/03/12(火) 22:32:01.00 ID:uuICzLx2 >>201 つづき つい最近、以下の本を読んでいたら、第３章が「集合論について」となっている。 集合論の圏論的な公理のうち評判のよいものを一つ選ぶと、形式ばらない要約は次のようになる。 1.関数の合成は結合的で恒等射をもつ 2.終対象が存在する 3.元のない集合が存在する 4.関数は元への効果で決定される 5.集合ＡとＢについて、積Ａ×Ｂが構成できる 6.集合ＡとＢについて、ＡからＢへの関数の集合を構成できる 7.ｆ:Ａ→Ｂとｂ∈Ｂについて、逆像ｆ^?１｛ｂ｝を構成できる 8.Ａの部分集合は、Ａから｛０、１｝への関数と対応する 9.自然数たちが集合をなす 10.すべての全射は切片をもつ この非形式的な要約は、「元」や「逆像」といった用語を用いているが、それは集合、関数、合成という基本概念を使って定義できるものだ。たとえば、集合Ａの元は終集合からの射として定義される。 これらの公理は確実に都合よく、圏論の言葉で表現できる。たとえば、最初の公理は集合と関数が圏をなすといっており、１０個すべてを合わせたものは、圏論通の専門用語で「集合と関数は自然数対象と選択をもつwell-pointedトポスになる」と表現される。 しかし公理を述べるためには、いかなる圏論の再燃にも訴える必要はなく、集合と関数の言葉で表現できる。詳細は Lawvere-Rosebruch(2003) あるいは Leinster(2014) を参照されたい。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/202

203: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/03/12(火) 22:32:22.84 ID:uuICzLx2 >>202 つづき The relation between our axioms and ZFC is well understood. The ten axioms are weaker than ZFC; but when the eleventh is added, the two theories have equal strength and are 'bi-interpretable' (the same theorems hold). Moreover, it is known to which fragment of ZFC the ten axioms correspond: 'Zermelo with bounded comprehension and choice'. The details of this relationship were mostly worked out in the early 1970s [2, 14, 15]. Good modern accounts are in Section VI.10 of [7] and Chapter 22 of [9]. （Tom Leinster. Rethinking set theory.(2014)） [1212.6543] Rethinking set theory 上記の公理のより詳しい説明は、Leinster(2014)によくまとまっている。 ようするに、上記の引用にある圏論的な公理は 集合論ではない（「集合」と「属する」という「無定義用語」によって、公理系を記述していない。あくまで「圏論」流に、「対象Ａから対象Ｂへの射」という「無定義用語」しか本質的に使っていない。一見、「集合論」的な無定義用語は出現するが、それはあくまで「定義」という、用語上の簡易性から導入されているにすぎない。） 直感的に、これらの公理が「大きすぎない」（ＺＦＣのように、直感的に言い過ぎていると思われるような主張がない。） ＺＦＣより「弱い」公理系であるが、これにある「公理」を加えれば、ＺＦＣと相当な内容だと解釈できる。 ちなみに、最後のＺＦＣとの相等性については、以下の論文で議論されていて、 Gerhard Osius. Categorical set theory: A characterization of the category of sets. (1974) Categorical set theory: A characterization of the category of sets - ScienceDirect http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0022404974900322 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/203

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