現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む62

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198: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/12(火) 20:58:07.56 ID:uuICzLx2

>>196
C++ さん、どうも。スレ主です。
お元気そうで、なによりです

なにを集合として扱うのか？
これは、いろいろと時代の変遷があるみたいですよ

>私は集合と要素を別のものとして区分するのは反対です

無制限に、なんでも集合に取り入れると、まずいので公理化した
で、素朴集合論から、公理的集合論（主としてZFC）の時代になった
正則性公理による、集合の制限も、その一つでしょう

いまは、公理的集合論を乗り越えていこうという動きが大きくなっていると思います
その大きな動きの一つが、圏論でしょうね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
集合論
(抜粋)

目次
1 素朴集合論と公理的集合論
2 集合論の歴史
3 数学にあたえた影響

数学にあたえた影響
集合論以前の数学は、数であるとか方程式であるとかあらかじめ与えられた数学的対象の性質を研究する、という性格が強いものだった。
集合論以降は問題にしている数学的な現象をよく反映するような「構造」を積極的に記号論理によって定義し、その構造を持つ集合について何がいえるかを調べる、という考え方が優勢になった。
とくに20世紀に入ってからの抽象代数学や位相空間論では様々な新しい数学的対象が集合の道具立てを用いて積極的に構成され、研究された。
このパラダイムはニコラ・ブルバキによる「数学原論」においてその頂点に達したと見なされている。

一方で、さまざまな数学の問題に対応した構造を理解するときには、個々の対象が具体的にどんな集合として定義されたかということよりも、類似の構造を持つほかの数学的対象との関係性の方がしばしば重要になる。
この関係性は対象間の写像のうちで「構造を保つ」ようなもの（しばしば準同型と呼ばれる）によって定式化される。このような考え方を扱うために圏論が発達した。
集合論の著しい特徴は集合間の写像たちまでが再び集合として実現できることだが、こういった性質を圏論的に定式化することで集合論の圏論化・幾何化ともいうべきトポスの概念がえられる。

http://fuchino.ddo.jp/kobe/jyohokiso-2013-history.pdf
公理的集合論 成立の歴史 渕野 昌
神戸大学大学院 システム情報
2013 年前期 情報基礎特論での講義

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/198

205: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/13(水) 07:22:57.89 ID:QlfKIGCF

>>198
>>私は集合と要素を別のものとして区分するのは反対です
>無制限に、なんでも集合に取り入れると、まずいので公理化した
>で、素朴集合論から、公理的集合論（主としてZFC）の時代になった

（>>58）
http://blacaman.tripod.com/cursos/pdf/2012-2_0941.pdf
An Introduction to Independence Proofs K KUNEN 著 First edition: 1980 Seventh impression: 1999

https://www.amazon.co.jp/dp/4535783829/ref=pd_lpo_sbs_14_t_1?_encoding=UTF8&psc=1&refRID=8NKTZE2Q63MR3BRQEWQX
集合論―独立性証明への案内 単行本 ? 2008/1/1
ケネス キューネン (著), Kenneth Kunen (原著), 藤田 博司 (翻訳)

下記が参考になるでしょう。
これの
P8
In the intended interpretation, under which the axioms of ZFC are presumed
true, x ∈ y is interpreted to mean that x is a member of y, but the
domain of discourse is somewhat harder to describe. In accordance with the
belief that set theory is the foundation of mathematics, we should be able
to capture all of mathematics by just talking about sets, so our variables
should not range over objects like cows and pigs. But if C is a cow, {C} is
a set, but not a legitimate mathematical object. More generally, since we
wish to talk only about sets but also should be able to talk about any element
of a set in our domain of discourse, all the elements of such a set should
be sets also.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/205

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