現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む62

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189: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/12(火) 12:22:08.53 ID:L9877gai

>>188 追加
>B：＝{A}
>・B∩A∋A
>となる
>BにはA以外に要素はないので、BはBと交わりが空集合である要素を持たないことになる

まだ、すっきりしないね
こう考えた方が良いかも

天下りに、集合の引き算を使う（面倒なので細部の説明省略）

下記引用のvon Neumannで、0=Φ, 1=0∪{0}={Φ}, 2=1∪{1}={{Φ},Φ}・・・
例えば、2－1={{Φ},Φ}－{Φ}＝{Φ}＝1

で、Φ(={})は空集合で、{Φ}は空集合を要素とする集合だと
ここで、要素が一つの集合 B：＝{A}では、B-A={}=Φとなる。ここまでは普通

空集合の性質（後述）：”任意の集合 A に対し Φ ⊆ A”より、Φ∈B
なので、正則性公理”∃ X ∈ A (X ∩ A = Φ)”には反しない！
∵ ∃ X=Φとすれば良い

ところが、A∋A つまり A = {A}とすると
B：＝{A}で、B-A＝{A}-{A}＝全くの空（{}(=Φ)さえ残らない）
よって、正則性公理”∃ X ∈ A (X ∩ A = Φ)”に、反すると
まあ、くどいが平たく言えば、{}（＝集合の枠）も引き算されて残らないから、{}(=Φ)さえ残らないとなる

個人的には、こんな説明がすっきりした気になるね（＾＾

von Neumannは、おそらく、下記の 0=Φ, 1=0∪{0}={Φ}, 2=1∪{1}={{Φ},Φ}・・・
で、0=Φ(={})は、存在（∃）していて、”全くの空”とは違うよ！と
それを、正則性公理の導入で言いたかったのかもね（＾＾

https://en.wikipedia.org/wiki/Empty_set
Empty set
(抜粋)
"{}", "Φ".
Set theory
In the von Neumann construction of the ordinals, 0 is defined as the empty set, and the successor of an ordinal is defined as S(α)=α∪{α}.
Thus, we have 0=Φ(={}), 1=0∪{0}={Φ}, 2=1∪{1}={{Φ},Φ}, and so on.
The von Neumann construction, along with the axiom of infinity, which guarantees the existence of at least one infinite set, can be used to construct the set of natural numbers, N_0, such that the Peano axioms of arithmetic are satisfied.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/189

194: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/12(火) 17:48:22.06 ID:L9877gai

>>189 補足
（再掲）
正則性 (Regularity)公理
Axiom of Regularity
∀ A
A ≠ Φ
　↓
∃ X ∈ A (X ∩ A = Φ)
(空でない集合は自分自身とまじわりの無い要素を１つは持つ)
(引用終り)

正則性公理に限りませんが
こういう対象は、”多面的・多重的・多層的に物事を見る”
ということを意識してやるべきですね

例えば、
１）正則性公理が、集合の出来方を規定して、無限降下列を禁止して、フォンノイマン宇宙を秩序づけているという視点もあれば
２）∈を使った順序で、∈に等号（=）を含ませず、極小元を保証しているものだという視点
３）あるいは、上記を公理命題として規定するときに、いかにすっきり記述するか（「公理命題」としての記述は、一切の不要なぜい肉を落として、使う用語や記号は極少にして、表現は簡潔に）という視点

１）は集合（あるいは宇宙）の出来方、２）は順序と極小元、３）は「公理命題」の記述のあり方
そういう複数の視点から、理解すべきであって
”∃ X ∈ A (X ∩ A = Φ)”という記号が読めたから、理解できたというものではないだろうと（＾＾；

https://hikari.atea.jp/archives/4721
アテアBLOG
2017.05.23
【多角的に見る】多面的・多重的・多層的に物事を見ること 大杉日香理
(抜粋)
どんなことでも慣れないうちは手際がおぼつきませんが、
やっていくうちに自分なりのやり方で捉えられるようになります
なによりも視点を複数持って物事を見るクセをつけること

https://hikari.atea.jp/wp-content/uploads/2017/03/img_58be31838fa8a.png

http://hikari.atea.jp/wp-content/uploads/2017/03/img_58be31a6570ec.png

http://hikari.atea.jp/wp-content/uploads/2017/03/img_58be31b7bfcfe.png
(引用終わり)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/194

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