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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む62 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む62 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/
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179: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/03/11(月) 20:49:02.33 ID:NUGiaq8/ >>178 つづき 近年、二階述語論理は一種の回復の途上にある。この傾向をもたらしたのは George Boolos による二階の量化の解釈であり、彼は一階の量化と同じドメインでの複数形の量化として二階の量化を解釈した。 Boolos はさらに一階述語論理では記述できない文を例に挙げ、完全な二階述語論理の量化でのみそれらを表現可能であるとした。 計算複雑性理論への応用 有限な構造についての二階述語論理の各種形式の表現能力は、計算複雑性理論と密接に関係している。 二階述語論理を前提として次のような複雑性クラスを説明できる。 ・NP は、存在量化二階述語論理で表現できる言語の集合である（Fagin の定理、1974年）。 (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/179
180: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/03/11(月) 23:04:52.70 ID:NUGiaq8/ >>179 追加 >近年、二階述語論理は一種の回復の途上にある。この傾向をもたらしたのは George Boolos による二階の量化の解釈であり これ、下記のゲーデルの補足と、圏論との関連をご参照 圏論と高階論理は、結構関連があり、その影響もあっての”回復の途上”だろう >計算複雑性理論への応用 ここは、C++さんがご専門だろう（＾＾ アロンゾ・チャーチ、ラムダ計算の創案者との関係もある https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%9A%8E%E8%BF%B0%E8%AA%9E%E8%AB%96%E7%90%86 二階述語論理 (抜粋) ゲーデルの不完全性定理の系の1つとして、以下の3つの属性を同時に満足するような二階述語論理の推論体系は存在しないとされた[4]。 脚注 4 ^ その系の証明とは、健全で完全で実効的な standard semantics の推論体系があったとしたとき、ペアノ算術の帰納的可算な完全な系が存在することになり、それはゲーデルの定理によって存在できないことが明らかとなっていることを示すものである。 (引用終り) つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/180
191: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/03/12(火) 14:17:38.39 ID:L9877gai >>187 ＞二階述語論理および高階述語論理 余談だが (>>13より) 渕野先生が書いている ”厳密性を数学と取りちがえるという勘違い” https://www.amazon.co.jp/dp/4480095470 数とは何かそして何であるべきか デデキント 訳解説 渕野昌 筑摩書房2013 「数学的直観と数学の基礎付け 訳者による解説とあとがき」 P314 (抜粋) 数学の基礎付けの研究は，数学が厳密でありさえすればよい， という価値観を確立しようとしているものではない. これは自明のことのようにも思えるが，厳密性を数学と取りちがえるという勘違いは， たとえば数学教育などで蔓延している可能性もあるので， ここに明言しておく必要があるように思える 多くの数学の研究者にとっては，数学は，記号列として記述された「死んだ」数学ではなく， 思考のプロセスとしての脳髄の生理現象そのものであろう そのような「生きた」「実存としての」(existentialな)数学で問題になるのは， アイデアの飛翔をうながす(可能性を持つ)数学的直観」とよばれるもので， これは， ときには，意識的に厳密には間違っている議論すら含んでいたり， 寓話的であったりすることですらあるような， かなり得体の知れないものである (引用終り) IUTスレ36より http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/travel-japanese.html 望月新一 出張・講演 http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~motizuki/Uchuusai%20Taihimyuuraa%20riron%20he%20no%20izanai%20(2015-02).pdf [17] 宇宙際タイヒミューラー理論への誘（いざな）い （2015-02） （京都大学数理解析研究所 2015年02月）PDF いま、物議をかもしているIUTだが、このPDFなどを見ると、 ”意識的に厳密には間違っている議論すら含んでいたり， 寓話的であったりすることですらあるような， かなり得体の知れないものである”が、ぴったりという感じです（＾＾ まあ、人間の思考は、二階述語論理および高階述語論理、あるいはそれ以上のものだろう ”記号列として記述された「死んだ」数学”じゃ、だめだと 二階述語論理および高階述語論理が、”回復”（>>179）しているのも、そういうことだろうね（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/191
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