現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む62

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170: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/10(日) 19:35:21.42 ID:rk/29Zdt

>>68
>新歓でちょっとした数学の記事を書くんだけど、「数学がZFCから作られていることを実感してもらうためにZFからペアノの公理のモデルでも構成するか」とか思ってたの、難しすぎ感あるな。
二つのコースがあって
１）一つは、前スレ61で下記に示すように、ZF中で正則性公理を使うコース
２）も一つは、ピエロちゃんの、ZF中で正則性公理を使わないコース
(引用終り)

ここ、いままでを纏めると、下記
１．フォン・ノイマンがここで案出した「要素が集合の帰属関係∈ で 整列されるような集合を順序数とする」構成を使って、
　　自然数を構成する。（後述 渕野昌PDF２つと、ペアノの公理 wikipedia ご参照）
２．自然数のペアノの第5公理＝数学的帰納法の公理だけれども（>>140）、
　　これは、自然数が整列集合であることと公理として同値だ（>>59）
３．正則性公理を使えば、これは（ZF公理系下で）帰納法の公理と同値(>>157)なので、自然数が整列集合であることは、即言える
　　あとは、”一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理） 二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[1]。”（>>159）をいう
４．しかし、正則性公理を使わないで、ペアノの第5公理＝数学的帰納法の公理を導くのは、”かがみのホームページ”のやり方だな
　　かがみさんがきちんと出来ているかどうかは、検証していないが、結構しっかり書いていたと思う
　（余談だが、普通の教科書では、ここまで書けない（スペースの問題もあり）し、講義でも時間の関係で詳しくやれないと思う）
５．あと、モストウスキーの崩壊補題 (Mostowski collapse lemma)（>>157）などに触れて
　　”∈を使った順序”とか、”∈-induction”は、結構普遍で、ZFCの中での位置付けを語れば、完璧かもね（＾＾

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/170

171: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/10(日) 19:37:27.48 ID:rk/29Zdt

>>170

つづき

６．さらに、正則性公理の意味の補足
　　「>=, we have 1 >= 1 >= 1 >= ・・・」の例類似で、”∈を使った順序”で、∋は >=では無く、>（等号=含まず）(>>150と>>152)」だとか、
　　正則性公理の意味の別の側面で、それは極小元の存在保証（無限降下列禁止）の意味があるとか、そういう蘊蓄を、付け加えておけば、新歓としては良いだろうね（＾＾

（参考）
http://fuchino.ddo.jp/misc/goedel-universe.pdf
渕野 昌，連続体仮説とゲーデルの集合論的宇宙（ユニヴァース）， 現代思想，2007年2月臨時増刊号 (2007), 94-116
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku/65/4/65_0654411/_pdf/-char/ja
特別企画 これから学ぶ人のために 公理的集合論 渕 野 昌 - J-Stage 渕野昌 著 数学 ?2013
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理 （ここにフォン・ノイマンの構成法がある）
http://evariste.jp/kagami/index.html
かがみのホームページ プロフィール 学生時代の専攻は数学。今の趣味も数学。
http://evariste.jp/kagami/diary/0000/200401.html#20040103-1
2004年1月3日 自然数の構成と ω
http://evariste.jp/kagami/diary/0000/200402.html#20040201-2
2004年2月1日 自然数と数学的帰納法
http://evariste.jp/kagami/diary/0000/200402.html#20040207-2
2004年2月7日 順序
http://evariste.jp/kagami/diary/0000/200403.html#20040320-1
2004年3月20日 順序数の定義
http://evariste.jp/kagami/diary/0000/200403.html#20040322-1
2004年3月22日(月) 整列順序
http://fuchino.ddo.jp/foundation.html
基礎の公理の成り立たない集合論 (non well-founded set theory) について
渕野 昌(Sakae Fuchino) Last modified: Sat Aug 13 14
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/171

172: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/10(日) 22:54:23.80 ID:rk/29Zdt

>>170

（追加参考）
http://repository.lib.tottori-u.ac.jp/ja/list/t-authors/%E3%82%BF/03528/item/1151
http://repository.lib.tottori-u.ac.jp/files/public/0/1151/20180622142427404027/tujfersrs0401_37.pdf
第二階論理によるペアノ算術 田畑 博敏 鳥取大学教育地域科学部 2002
(抜粋)
はじめに

よく知られているように，ペアノは自然数に関する公理系を作ることにより，その公理から算術の真理を定理として導こうとした。
その公理の中に数学的帰納法の原理が含まれている。
第一階の論理によるこの原理の定式化は，いわゆる公理図式によるもので，具体的な一階の(自由変項を含む)論理式を代入することにより無数の公理が得られる。
それゆえ数学的帰納法の公理は無数の論理式に対応する無数の公理を含むことになる。
しかし，論理式はせいぜい可算個しかないゆえに，論理式が表す自然数の性質もせいぜい可算無限価しかない。
他方，第二階論理によって定式化される数学的帰納法の公理は単一の公理であり，それは，「すべての自然数の性質(集合)」 に言及していると解釈され，非可算個の性質(集合)を量化の範囲に含んでいる。
さらに，第一階の論理によるペアノの公理系はコンパクト性定理により標準モデルとは同型でない非標準モデルが存在するのに対して，第二階のペアノの公理系はカテゴリカルである(すなわち，すべてのモデルが同型的である)。
このような相違は，なによりも定式化の基礎にある論理の相違に由来している。

そこで，本論文の梗概はつぎのようになる。
まず第l節では第二階ペアノ算術の公理系を提示して，そのモデルのいくつかを考え，非標準的モデルにも触れる。
第2節では，第二階論理によるペアノの公理系がカテゴリカルであることを示す。
それを受けて，第3節では，公理系の意図されたモデルを，互いに同型なペアノ・モデルの代表としてとり，ここで原始回帰(primitiv erecursion)という定義図式によって定義される自然数上の演算(加法・乗法・巾法)の存在を示す。
第4節では，数学的帰納法のモデルではあるが，他のペアノの公理のモデルとはかぎらないモデルと， (意図された)自然数のモデル上の合同関係との，つながりを論じる。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/172

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