現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む62

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164: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/10(日) 13:40:49.47 ID:rk/29Zdt

>>162

まだ、下記の嘉田 勝先生の「超冪による自然数論の超準モデルの構成」の方が読める・・（＾＾；
https://researchmap.jp/kada/
嘉田勝
https://researchmap.jp/index.php?action=pages_view_main&active_action=multidatabase_view_main_init&multidatabase_id=7667&block_id=1782995#_1782995
資料公開
https://researchmap.jp/muo3gsp7z-1782995/?action=multidatabase_action_main_filedownload&download_flag=1&upload_id=65968&metadata_id=47029
超冪による自然数論の超準モデルの構成
嘉田 勝
2013 年 1 月 16 日 / 2014 年 6 月 11 日改訂
(抜粋)
4. N の超冪は自然数論の超準モデルである

ストラクチャー N には，0N < x, 1N < x, . . . をすべて同時にみたす要素 x は存在しない．
したがって，ストラクチャー M はストラクチャー N と同型ではない．
なぜこのようなことが起こるのか？ それは，「x は無限大の自然数である」という性質が言語 L
の論理式で記述できないからである．

1 階述語論理の論理式構成規則では，L の個々の定数記号 0, 1, . . . について 0 < x, 1 < x, . . . と
いう論理式は作れるが，「それらすべての AND」を意味する論理式は構成できない．
つまり，1 階述語論理では「無限大の自然数」というコンセプトを表現できないために，
ストラクチャーに「無限大の自然数」が存在したとしても，1 階述語論理の記述能力の範囲ではその存在を認識できない
（あるかないかを論理式の真偽で判定できない）のである．*4

*4 「x は無限大の自然数である」は論理式で ∀n ∈ N (n < x) と書けばよい，と思うかもしれない．
しかし，それは早計である．
1 階述語論理の論理式では “∈ N” の部分を記述する方法がないからである．
∀n (n < x) だと，（もし「無限大の自然数」が存在すれば）n の変域が「無限大の自然数」にも及ぶので，意図通りの主張の表現にはならない．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/164

166: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/10(日) 14:04:52.60 ID:rk/29Zdt

>>162

関連
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/
坪井明人（筑波大）
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/gra/logic10.pdf
数理論理学Ｉ 坪井明人（筑波大）
Mathematical Logic I
09 年 講義ノート

3 ウルトラプロダクトとコンパクト性 11
3.1 ウルトラフィルター . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2 ウルトラプロダクト . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.3 コンパクト性定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.4 L¨owenheim-Skolem の定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

5 超準解析の基礎 28
5.1 R の拡大 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.2 連続関数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.3 コンパクト集合 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.4 微分可能性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.5 積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5.6 重積分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

P17
例47 （自然数の超準モデルの存在）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/166

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