現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む62

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157: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/10(日) 12:29:09.79 ID:rk/29Zdt

>>149 補足
> ２）
>”When the well-founded relation is set membership on the universal class, the technique is known as ∈-induction.”
>”∈-induction”というのは、集合論で最初に使う”∈を使った順序”での、induction（帰納法）だよと

ちょっと繰り返しになるが、>>55-56にも引用したけど
”∈-induction”というのは、集合論で最初に使う”∈を使った順序”での、induction（帰納法）と見ることもできて
”equivalent to the axiom of regularity given the other ZF axioms”だと

まあ、”∈”を等号抜きの”⊂”と思えば、包含関係の順序になるし
だから、”∈-induction”は結構普遍
それを、きちんと言ったのが、（>>150）モストウスキーの崩壊補題 (Mostowski collapse lemma) （下記）

なので、”∈を使った順序”の視点で、
”Given the other axioms of Zermelo?Fraenkel set theory, the axiom of regularity is equivalent to the axiom of induction.”
は、全く正しい
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%95%E3%82%B9%E3%82%AD%E5%B4%A9%E5%A3%8A%E8%A3%9C%E9%A1%8C
モストフスキ崩壊補題
(抜粋)
一般化
全ての整礎的かつ集合状な関係は整礎的かつ集合状かつ外延的な関係に埋め込める。これはモストフスキ崩壊補題の変形を導く：整礎的かつ集合状な関係は、あるクラス上の∈-関係と同型である。(このクラスは一意的でないし、推移的である必要もない)

応用
ZFの集合モデルは集合状かつ外延的である。 モデルが整礎的なら本補題により、ZFの推移的モデルと一意的に同型である。

ZFのあるモデルの∈-関係が整礎的であるというのは、そのモデル内で正則性公理が成立するという主張よりも強いことに注意。

ZFは無矛盾であるとの仮定の下で、ZFのモデルMで、 その論議領域にR-極小要素をもたない部分集合AをもつがAはそのモデル内で集合でないというものがある。(Aの要素が全て議論領域内にあってもAはモデルの議論領域内に無い)
もっと正確には、そうでない集合AにはMの要素xでA = R?1[x]となるものが存在する。だからMは正則性公理を満たす(内部的には整礎的である)が、Rは整礎的関係でなく、この崩壊補題も適用できない
(引用終り)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/157

158: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/10(日) 12:33:46.63 ID:rk/29Zdt

>>157
つづき
（>>55-56より再録）
https://en.wikipedia.org/wiki/Epsilon-induction
Epsilon-induction
(抜粋)
In mathematics, ∈ -induction is a variant of transfinite induction that can be used in set theory to prove that all sets satisfy a given property P[x].
If the truth of the property for x follows from its truth for all elements of x, for every set x, then the property is true of all sets.

This principle, sometimes called the axiom of induction (in set theory), is equivalent to the axiom of regularity given the other ZF axioms. ∈ -induction is a special case of well-founded induction.
The Axiom of Foundation (regularity) implies epsilon-induction.

https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity
Axiom of regularity
(抜粋)
However, regularity makes some properties of ordinals easier to prove; and it not only allows induction to be done on well-ordered sets but also on proper classes that are well-founded relational structures such as the lexicographical ordering on {(n,α)｜ n∈ ω ∧ α is an ordinal }.

Given the other axioms of Zermelo?Fraenkel set theory, the axiom of regularity is equivalent to the axiom of induction.
The axiom of induction tends to be used in place of the axiom of regularity in intuitionistic theories (ones that do not accept the law of the excluded middle), where the two axioms are not equivalent.

In addition to omitting the axiom of regularity, non-standard set theories have indeed postulated the existence of sets that are elements of themselves.

Contents
1.1 No set is an element of itself
1.2 No infinite descending sequence of sets exists
1.3 Simpler set-theoretic definition of the ordered pair

2 The axiom of dependent choice and no infinite descending sequence of sets implies regularity
3 Regularity and the rest of ZF(C) axioms
4 Regularity and Russell's paradox
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/158

170: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/10(日) 19:35:21.42 ID:rk/29Zdt

>>68
>新歓でちょっとした数学の記事を書くんだけど、「数学がZFCから作られていることを実感してもらうためにZFからペアノの公理のモデルでも構成するか」とか思ってたの、難しすぎ感あるな。
二つのコースがあって
１）一つは、前スレ61で下記に示すように、ZF中で正則性公理を使うコース
２）も一つは、ピエロちゃんの、ZF中で正則性公理を使わないコース
(引用終り)

ここ、いままでを纏めると、下記
１．フォン・ノイマンがここで案出した「要素が集合の帰属関係∈ で 整列されるような集合を順序数とする」構成を使って、
　　自然数を構成する。（後述 渕野昌PDF２つと、ペアノの公理 wikipedia ご参照）
２．自然数のペアノの第5公理＝数学的帰納法の公理だけれども（>>140）、
　　これは、自然数が整列集合であることと公理として同値だ（>>59）
３．正則性公理を使えば、これは（ZF公理系下で）帰納法の公理と同値(>>157)なので、自然数が整列集合であることは、即言える
　　あとは、”一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理） 二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[1]。”（>>159）をいう
４．しかし、正則性公理を使わないで、ペアノの第5公理＝数学的帰納法の公理を導くのは、”かがみのホームページ”のやり方だな
　　かがみさんがきちんと出来ているかどうかは、検証していないが、結構しっかり書いていたと思う
　（余談だが、普通の教科書では、ここまで書けない（スペースの問題もあり）し、講義でも時間の関係で詳しくやれないと思う）
５．あと、モストウスキーの崩壊補題 (Mostowski collapse lemma)（>>157）などに触れて
　　”∈を使った順序”とか、”∈-induction”は、結構普遍で、ZFCの中での位置付けを語れば、完璧かもね（＾＾

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/170

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