現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む62

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142: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/10(日) 09:33:09.42 ID:rk/29Zdt

>>139-140 補足

下記「超限帰納法」の証明、しっかり書いてあるのだが、長いので部分のみコピー
リンク先を見て下さい
http://cai3.cs.shinshu-u.ac.jp/Lecture/SetTheory3/settheory03/settheory03.html
集合の基礎的性質その３ 師玉康成 信州大
http://cai3.cs.shinshu-u.ac.jp/Lecture/SetTheory3/settheory03/node19.html
この文書について...
集合の基礎的性質その３
この文書はLaTeX2HTML 翻訳プログラム Version 2002-2-1 (1.70)
Copyright c 1993, 1994, 1995, 1996, Nikos Drakos, Computer Based Learning Unit, University of Leeds,
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を日本語化したもの( 2002-2-1 (1.70) JA patch-2.0 版)
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Copyright c 2001, 2002, Shige TAKENO, Niigata Inst.Tech.
を用いて生成されました。
翻訳は Katsumi WASAKI によって 平成17年10月12日 に実行されました。
Yasunari SHIDAMA

http://cai3.cs.shinshu-u.ac.jp/Lecture/SetTheory3/settheory03/node15.html
超限帰納法
(抜粋)
Xが整列集合とし,P(x)は関係式とします。

が成立ちます。これを自然数での数学的帰納法になぞらえて超限帰納法と呼びます。
[証明] 前半の関係式

が空集合でないことになります。 するとXは整列集合でしたから Ｙ=⊂ Xには最小元 x∈Yが存在します。

が整列順序集合であることも明らか。（Xを最大元としてS(X)に加える。）
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/142

170: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/10(日) 19:35:21.42 ID:rk/29Zdt

>>68
>新歓でちょっとした数学の記事を書くんだけど、「数学がZFCから作られていることを実感してもらうためにZFからペアノの公理のモデルでも構成するか」とか思ってたの、難しすぎ感あるな。
二つのコースがあって
１）一つは、前スレ61で下記に示すように、ZF中で正則性公理を使うコース
２）も一つは、ピエロちゃんの、ZF中で正則性公理を使わないコース
(引用終り)

ここ、いままでを纏めると、下記
１．フォン・ノイマンがここで案出した「要素が集合の帰属関係∈ で 整列されるような集合を順序数とする」構成を使って、
　　自然数を構成する。（後述 渕野昌PDF２つと、ペアノの公理 wikipedia ご参照）
２．自然数のペアノの第5公理＝数学的帰納法の公理だけれども（>>140）、
　　これは、自然数が整列集合であることと公理として同値だ（>>59）
３．正則性公理を使えば、これは（ZF公理系下で）帰納法の公理と同値(>>157)なので、自然数が整列集合であることは、即言える
　　あとは、”一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理） 二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[1]。”（>>159）をいう
４．しかし、正則性公理を使わないで、ペアノの第5公理＝数学的帰納法の公理を導くのは、”かがみのホームページ”のやり方だな
　　かがみさんがきちんと出来ているかどうかは、検証していないが、結構しっかり書いていたと思う
　（余談だが、普通の教科書では、ここまで書けない（スペースの問題もあり）し、講義でも時間の関係で詳しくやれないと思う）
５．あと、モストウスキーの崩壊補題 (Mostowski collapse lemma)（>>157）などに触れて
　　”∈を使った順序”とか、”∈-induction”は、結構普遍で、ZFCの中での位置付けを語れば、完璧かもね（＾＾

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/170

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