現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む62

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139: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/10(日) 07:44:43.52 ID:rk/29Zdt

>>138

＜超限帰納法＞
ブリタニカ：αで番号づけるために，選択公理 (→ツェルメロの公理 ) を使って整列集合をつくらなければならないが，超限帰納法を直接使わないで，選択公理またはそれと同値な補題を使って証明することのほうが多い。
世界大百科事典：これでよい理由は，Pλが正しくないようなλがあったとして，そのようなλ全体の集合をMとすれば，Λが整列集合という仮定により，Mに最小元αがある。するとμ＜αならばPμが正しいのだから，Pαも正しいはずで，α∈Mに反する。
＜数学的帰納法＞
ブリタニカ：自然数全体の集合を定義したペアノの公理系の第5公理を基礎に導かれる論法である。そこでペアノの第5公理を数学的帰納法の公理と呼ぶ。

https://kotobank.jp/word/%E8%B6%85%E9%99%90%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95-97776
コトバンク
(抜粋)
ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説
超限帰納法
transfinite induction
順序数αで番号づけられた命題 P(α)について，ξ＜αについて P (ξ) が成立すれば，P (ξ) を証明することによって P (α) を証明する方法。
自然数についての数学的帰納法を一般化したものである。
αで番号づけるために，選択公理 (→ツェルメロの公理 ) を使って整列集合をつくらなければならないが，超限帰納法を直接使わないで，選択公理またはそれと同値な補題を使って証明することのほうが多い。

世界大百科事典 第２版の解説
【超限帰納法 transfinite induction】
一般化された数学的帰納法の一種で，次のような証明法である。
”整列集合Λの各元λに命題Pλが対応しているとき，次のことが証明できれば，すべてのPλは正しい。
〈各λ∈Λに対して，μ＜λならばPμが正しいという仮定のもとで，Pλは正しい〉。”
これでよい理由は，Pλが正しくないようなλがあったとして，そのようなλ全体の集合をMとすれば，Λが整列集合という仮定により，Mに最小元αがある。
するとμ＜αならばPμが正しいのだから，Pαも正しいはずで，α∈Mに反する。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/139

142: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/10(日) 09:33:09.42 ID:rk/29Zdt

>>139-140 補足

下記「超限帰納法」の証明、しっかり書いてあるのだが、長いので部分のみコピー
リンク先を見て下さい
http://cai3.cs.shinshu-u.ac.jp/Lecture/SetTheory3/settheory03/settheory03.html
集合の基礎的性質その３ 師玉康成 信州大
http://cai3.cs.shinshu-u.ac.jp/Lecture/SetTheory3/settheory03/node19.html
この文書について...
集合の基礎的性質その３
この文書はLaTeX2HTML 翻訳プログラム Version 2002-2-1 (1.70)
Copyright c 1993, 1994, 1995, 1996, Nikos Drakos, Computer Based Learning Unit, University of Leeds,
Copyright c 1997, 1998, 1999, Ross Moore, Mathematics Department, Macquarie University, Sydney.
を日本語化したもの( 2002-2-1 (1.70) JA patch-2.0 版)
Copyright c 1998, 1999, Kenshi Muto, Debian Project.
Copyright c 2001, 2002, Shige TAKENO, Niigata Inst.Tech.
を用いて生成されました。
翻訳は Katsumi WASAKI によって 平成17年10月12日 に実行されました。
Yasunari SHIDAMA

http://cai3.cs.shinshu-u.ac.jp/Lecture/SetTheory3/settheory03/node15.html
超限帰納法
(抜粋)
Xが整列集合とし,P(x)は関係式とします。

が成立ちます。これを自然数での数学的帰納法になぞらえて超限帰納法と呼びます。
[証明] 前半の関係式

が空集合でないことになります。 するとXは整列集合でしたから Ｙ=⊂ Xには最小元 x∈Yが存在します。

が整列順序集合であることも明らか。（Xを最大元としてS(X)に加える。）
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/142

143: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/10(日) 09:38:38.31 ID:rk/29Zdt

>>139 補足
>ブリタニカ：αで番号づけるために，選択公理 (→ツェルメロの公理 ) を使って整列集合をつくらなければならないが，超限帰納法を直接使わないで，選択公理またはそれと同値な補題を使って証明することのほうが多い。

このブリタニカ説明が、ちょっと意味不明
選択公理を前提にしていると、いろんな推論で、心配がないことは言えると思うが、
「選択公理 (→ツェルメロの公理 ) を使って整列集合をつくらなければならない」とか
「超限帰納法を直接使わないで，選択公理またはそれと同値な補題を使って証明することのほうが多い」とか
これだけだと、意味わからん（＾＾

http://cai3.cs.shinshu-u.ac.jp/Lecture/SetTheory3/settheory03/node16.html
整列可能定理
(抜粋)
以下の定理が知られています。
[ツェルメロの整列可能性定理] 　任意の集合E上に整列順序が存在する。
以下に証明を述べますが,

Xが有限集合か,自然数の集合Nとの間に双射が存在するなら整列順序を入れることは 難しくありません。

Nとの間に双射が存在しなくても,順序を定義する方法の,アイデアの一つは,次のようなものです。

まず,x ∈ Eを一つ取り出し,これを定義したい順序で,最初の要素とします。 次に E ＼{x}から要素y ∈ Xを取り出し,これをXの次の要素とします。さらに E ＼ {x,y}から要素z ∈ Xを取り出し,これをyの次の要素とします。無論はEは無限集合で,しかも,Nとの間に双射が定義されず,１番目,２番目,…,と要素の選択を「数学的帰納法」で定義できないかもしれません。

そこで,任意のE部分集合Y ⊆ Xに対して,
τ(Y) ∈ E ＼ Y
となるような写像τを作ります。このような写像は,Eのべき集合
B(E)={Y｜ Y ⊆ E}
を使って造られる集合の族,

この集合が空集合でないことは,

ですので選択公理によって保証されます。
τ(Y), Y ⊆ E, Y ≠ E
の直感的な意味は,Yの全ての要素により(順序Rについて)真に大きい要素で,しかもそのような要素の中では,一番小さい要素です。

です。 [ツェルメロの定理の証明終]

[補題]

[補題の証明]

に矛盾する。 [補題の証明終]

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/143

159: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/10(日) 12:51:17.94 ID:rk/29Zdt

>>139
>＜数学的帰納法＞
>ブリタニカ：自然数全体の集合を定義したペアノの公理系の第5公理を基礎に導かれる論法である。そこでペアノの第5公理を数学的帰納法の公理と呼ぶ。

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
(抜粋)
一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理） 二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[1]。
ラムダ計算はペアノの公理を満たす自然数の、異なる構成法を与える。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%97%E8%A1%93%E3%81%AE%E8%B6%85%E6%BA%96%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB
(抜粋)
算術の超準モデル (英: non-standard model of arithmetic) とは、（一階）ペアノ算術のモデルのうち、通常の自然数ではない要素（超準数）を含むようなモデルのことである。
それに対し、通常の自然数 N は算術の標準モデルと呼ばれる。ペアノ算術の任意のモデルは線形順序で並んでおり、 N と同型な切片を持つ。超準モデルは、その切片の外に元を持つようなモデルであると言える。

可算超準モデルの構造
超積モデルは非可算となることが知られている。このことを見る一つの仕方は N の無限直積から超積モデルへの単射を構成すればよい。
他方でレーヴェンハイム-スコーレムの定理により、可算な算術の超準モデルが存在しなければならない。
構成法の一つとしてヘンキン構成を用いた方法がある。

http://www2.kobe-u.ac.jp/~kikyo/LogicSummerSchool2011/
^ 坪井明人　数学基礎論サマースクール モデル理論入門
(引用終り)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/159

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