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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む62 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む62 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/
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137: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/03/09(土) 23:07:38.96 ID:9Sqq12HI >>134 補足 「数理論理学II 坪井明人 University of Tsukuba」 補題 23 証明 「基礎の公理を用いると， Aの中で ∈ に関して極小な元が存在する（x の元なのでそれは順序数）」 ”この形で表現した補題 23 を超限帰納法とよぶ． ” ここで、「 ∈ に関して極小な元が存在する」にご注目（＾＾ http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/ 坪井明人ロジックの部屋 University of Tsukuba http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/ 学部（数学類）関連 http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf 数理論理学II 坪井明人 University of Tsukuba (抜粋) Ｐ13 1.3 順序数 順序数を表すために，α, β, . . . を用意する．この記法のもとに，例えば ∃αφ(α) は，論理式 ∃x(Ord(x) ∧ φ(x)) の省略形と考える． 補題 23. ∃αφ(α) → ∃β(φ(β) ∧ ∀y ∈ β¬φ(y)) が成立する． 証明. φ(α) を仮定する．集合 A = {x ∈ α : φ(x)} に基礎の公理を用いると， Aの中で ∈ に関して極小な元が存在する（x の元なのでそれは順序数）． β ∈ αをそのような極小元とする． β が求める元であることを示す．極小性から任意 の y ∈ β は A に属さない． y ∈ α は推移性から成立しているので，このことは ¬φ(y) を意味する． 上の補題は，与えられた（妥当な）条件に対して，それを満たす極小の順序 数が存在することを意味している．φ(α) は α 以外の自由変数を持っていてもよい． 注意 24. 補題 23 の対偶を考えると，（ψ = ¬φ として）次の論理式が成り立つ のが分かる： ∀β(∀y ∈ βψ(y) → ψ(β))→ ∀αψ(α). この形で表現した補題 23 を超限帰納法とよぶ． (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/137
138: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/03/09(土) 23:25:42.65 ID:9Sqq12HI >>137 この説明分り易いね（＾＾ http://tech-blog.rei-frontier.jp/entry/2017/11/16/100000#%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86 Rei Frontier Tech Blog レイ・フロンティア株式会社のデータアナリストの齋藤です。 ZFC公理系について：その3 2017-11-16 (抜粋) 正則性公理 αを任意の順序数とするとき、 α∈α+∈(α+)+∈・・・ となり、このような列はいくらでも延ばすことができます。 しかし、αから"左へ"いくらでも列を延ばすことはできません。 たとえば α=2 とすれば 2∋1∋0 でストップです。 一般に、αを任意の順序数とするとき、 αに含まれる元βで γ∈β→γ not∈a が成り立つものが存在します （β=0とすればよい）。 このことがより一般的に成り立つことを主張するのが、つぎの公理です： (Set9) 正則性公理 ∀a[a≠Φ→∃b(b∈a∧a∩b=Φ)] 普通の言葉でいうと、 「空でない集合aに対して、その元bで、bのいかなる元もaには含まれないものが存在する」 ということになります。 たとえば、xを任意の集合とし、 a={x} とおけば、 aの元は xのみなので、正則性公理から {x}∪x=Φ となり、したがって x not∈x が成り立ちます。 すなわち、正則性公理を仮定すれば、集合がそれ自身を元として含むという状況は起こらなくなります。 (引用終り) 注：おそらく {x}∪x=Φ→{x}∩x=Φ （下から3行目）で、タイポでしょう（＾＾ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/138
425: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/03/17(日) 11:43:32.30 ID:gAStfvWk >>422 補足追加 （>>137） http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/ 坪井明人ロジックの部屋 University of Tsukuba http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/ 学部（数学類）関連 http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf 数理論理学II 坪井明人 University of Tsukuba (抜粋) Ｐ9 1.1.10 基礎の公理（正則性公理） x ≠ Φ →∃y (y∈x ∧ ¬∃z(z ∈ x ∧ z ∈ y)). 空でない集合x には∈ に関して極小となる元z ∈ x があること，を直観的には意味している． 基礎の公理は，それがなくても数学が展開できるので，ある意味で技術的な公理である． しかし，基礎の公理を仮定した方が議論が展開しやすくなるので，通常は集合論の公理として加える． 注意8. a ∈ a を満たす集合a は存在しない： そのようなa があったとする． x = {a} として，基礎の公理を適用すると，a はx の中で∈ に関する極小元な ので，a ∈ a は成立しないはずである（矛盾）． (引用終り) ここ注意8.で、”∈を、等号（=）を含まない、不等号＜と考える”という視点が入っているよね （それにここ、証明になってない x = {a}、 y＝a として、 a ∈ xと a ∈ y（←a ∈ a）から （z=aで） ∃a(a ∈ x ∧ a ∈ y) 成立 しかし、x ≠ Φなので、基礎の公理に矛盾する だろう。まあ、スペースの関係で略したと思うが） 以上 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/425
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