現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む62

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113: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/09(土) 10:34:18.41 ID:9Sqq12HI

>>112

つづき

[定理]

f: X → X を整列順序集合 X 上の順序同型写像とするとき、f は恒等写像
f の逆写像を f-1 とすると f-1 も順序同型。x を f(x)≠x を成立させる x∈X と仮定すると、前補題により x < f(x) が成立し、f-1 の増加性により f-1(x) < x とな り矛盾。
[定理]

X を整列順序集合とするとき X と X[a] は順序同型にならない
f: X → X[a] が順序同型と仮定すると、f(a)∈X[a] なので f(a) < a となり補題に矛盾する。
[定理]

X,Y を二つの整列集合とするとき、次のいずれかの条件が成立する。またどの 二つの条件も両立しない。さらに各々の写像はただ一つ定まる。
(1) X から Y の上への増加写像(順序同型写像)が存在する
(2) Y から X の始片の上への増加写像(順序同型写像)が存在する
(3) X から Y の始片の上への増加写像(順序同型写像)が存在する

X×Y の部分集合 F を F={(x,y)|X[x] から Y[y] への順序同型写像が存 在する} と定義しすると F は関数関係となります。この関数関係を写像と考 えたものを f: dom(F) → ran(F) とすると f は増加写像でさらに dom(f),ran(f) それぞれ X,Y の始片となり f は dom(f) から ran(f) への順 序同型であることは容易に分かります。
ここで dom(f)≠X かつ ran(f)≠Y を仮定すると dom(f)=X[a],ran(f)=Y[b] なる a∈X,b∈Y が存在しますが、f の定義から (a,b)∈F となり a∈dom(f) となり矛盾。一意性に関しては f,g が (1)(2)(3) 何れか一つ の条件を満たす写像とするとき g-1・f が恒等写像になることに 注意すれば証明完了。
というわけで次回は上記で証明した整列集合の性質を順序数に応用し、順序数 の基本性質を導きます。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/113

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