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現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む62 (1002ﾚｽ)
現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む62 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/
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109: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/03/09(土) 10:30:35.04 ID:9Sqq12HI >>108 つづき http://evariste.jp/kagami/diary/0000/200402.html#20040201-2 2004年2月1日 自然数と数学的帰納法 (抜粋) 前回 自然数全体の集合 N を定義しましたが、非常に天下り的な定義であり、 我々の直感の「自然数」の集合論的な表現としてふさわしいかを検証する必要 があります。 もちろん「数学的」には定義した対象が直感に合っても合わなく ても、論理的な矛盾がなければ問題がないとも考えられますし、実際若いころ はそのように考えていたのですが、最近は数学的対象に関する洞察を深めるた めには、形式的な体系が直感的な裏付けをもつ、ということは非常に大切なこ とであると考えが変化したのであります(＊)。 今までの議論から N は直感的に「自然数全体」を含んでいるこ とは納得できますが、問題は「余計なもの」を含んでいないかということです。 そのためには(現在は非公式な)次の事実が証明できれば十分だと思われますが、 順序の概念がないと不便で仕方がないので、次回は順序の定義と N 上 の順序について論じたいと思います。 n と n+1 の「間」の自然数は存在しない n∈N で n≠0 のとき n=m+1 なる m∈N が存在する (＊) 若いころは論理だけですべてを理解できたという事情もあるのですが、 今考えると数学の論理的面を重視しすぎ、直感的な思考をおろそかにしたのが まずかった。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/109
110: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/03/09(土) 10:32:00.82 ID:9Sqq12HI >>109 つづき http://evariste.jp/kagami/diary/0000/200402.html#20040207-2 2004年2月7日 順序 http://evariste.jp/kagami/diary/0000/200403.html#20040320-1 2004年3月20日 順序数の定義 (抜粋) 前回 まで自然数と自然数全体からなる集合を定義しました。ここで自然数に順序と 演算を定義して、それらの「常識的な」性質を証明する必要があるのですが、 あんまり面白くないのにあたりまえの結果しか出ないので、細かいことは省略 して順序の定義のみを行います。 a,b∈N に対して関係 a∈b は順序関係となる。 通常この関係を a<b と記述する。 もちろん a∈b が順序の公理を満たすことを証明する必要があるのですが、 ここでは省略です。また特に重要な点として、 N 上の順序関係 ∈ は整列順序である。 が成立します。これも証明が必要な事実ですがここでは省略します。さていよ いよ順序数の定義ですが、これは次のように行われます。 集合 X が順序数とは次の二つの性質を満たすこと。 (1) X は ∈ に関して整列順序集合 (2) a∈b∈X のとき a∈X(この性質をもつ X を推移的という) (2) の条件は b∈X のとき b⊆X ということです。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/110
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