現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む62

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1: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/07(木) 22:02:17.29 ID:c0bwFOdp

この伝統あるガロアすれは、皆さまのご尽力で、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。

このスレは、現代数学のもとになった物理・工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで宜しければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな～（＾＾
最近、AIと数学の関係が気になって、その関係の記事を集めています～（＾＾
いま、大学数学科卒でコンピュータサイエンスもできる人が、求められていると思うんですよね。

スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。

スレ46から始まった、病的関数のリプシッツ連続の話は、なかなか面白かったです。
興味のある方は、過去ログを（＾＾

なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
（なお、サイコの発言集「実際に人を真っ二つに斬れたら 爽快極まりないだろう」、「狂犬」、「イヌコロ」、「君子豹変」については後述（＾＾； ）
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
上記は、お断り！
小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾

（旧スレが1000オーバー（又は間近）で、新スレを立てた）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/1

923: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/27(水) 16:38:10.87 ID:sC+mM8jf

>>922

菅原寛孝さん
https://www.soken.ac.jp/file/disclosure/pr/publicity/journal/special/pdf/20-25.pdf
総研大ジャーナル特別号　Sokendai Journal 発行日　　　　2008 年 12 月 10 日 発　行　　　　総合研究大学院大学
(抜粋)
小林さんのすごさと
本物を見抜く目

坂東昌子
愛知大学名誉教授

小林さんの強烈な印象
　小林・益川（KM）理論が実験で検証さ
れたのは 2002 年秋でした。私はこの年の
ノーベル賞受賞を予想して、授業などで特
別に解説をしたものです。
　小林さんのことでよく覚えているのは、
KM 理論を出した後のエピソードです。正
月明けに、「論文書かないわけにはいかんの
で、正月に書いた」と1 本の論文を出してき
ました。それは、第 2 種超伝導を素粒子に
応用したものでした。超伝導といえば、南
部陽一郎先生が対称性という視点から透
徹した論理を組み立てられ、その上にカイラ
ル対称性の自発的破れという形で持ち込ま
れたのは有名です。これは、今回のノーベ
ル賞にもつながりました。
　南部理論は、私が修士 1 年のころ、仲
間に教えてもらってその新鮮さに魅せられ、
すぐランダウのゼミを始めたので、強烈な印
象がありました。

本物を見抜く目
　今回、KM 論文を読み直し、ノーベル賞
委員会のレビュー「Broken Symmetry」を
読んで、いくつか気付いたことがあります。
　KM 論文は、CP の破れを自然に入れる
ためにどうすればいいか、それを形式論理
で尽くせるだけ尽くすことが大切だと教えて
くれます。すべての可能性を論理的に尽く
して、最後に本命（と私は思っているのです
が）の 3 世代模型が出てくるのです。
　また、この論文がここまで評価されたの
は、菅原寛孝さんの貢献も大きかったと思
います。多くの研究者が「新粒子なんて…」
という中で、KM 論文の価値を見抜き海外
に紹介した菅原さんの見識眼に尊敬の念を
禁じえません。ノーベル賞委員会のレビュー
には、本当にすごいところと日本の伝統が
書かれていないと思いました。
(引用終わり)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/923

949: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/28(木) 07:31:55.79 ID:7L3ElMut

>>930
>有理数の各点が同じ重みを持つように
>測度を設定することができないのは
>数学学んだ人全員の常識だから

間違っているが、たまに良いことをいうね
・ヴィタリ集合の意味する非可測は、0と∞を含む「いかなる値も λ(V) の値として定義してはいけない」ということ
・一方「可算集合のルベーグ測度が0であることの証明」（下記）にあるように、”有理数の各点のルベーグ測度は0”である
・時枝記事の無限次元R^N空間は、このままでは例えば”ヒルベルト空間”ではなく、計量が入らない
　時枝記事では、ヴィタリ集合うんぬんを書いているが、もともと無限次元R^N空間に計量が入っていないから、ミスリードだな
　（実数Rに計量が入っているヴィタリ集合の非可測とは、事情が全く異なる）

ご苦労さまでした（＾＾；

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88
ヴィタリ集合
(抜粋)
数学において、ヴィタリ集合（ヴィタリしゅうごう）とはジュゼッペ・ヴィタリ（英語版）(Giuseppe Vitali (1905))によって作られたルベーグ不可測な実数集合の基本的な例である。
ヴィタリの定理はそのような集合が存在することを保証する存在定理である。不可算に多くのヴィタリ集合が存在し、それらの存在は選択公理の仮定の下で示される。

ルベーグ測度は平行移動について不変なので λ (V_{k})=λ (V) である。ゆえに、
1 <= Σk=0～∞{λ (V)} <= 3
であるが、これは不可能である。
一つの定数の無限和は 0 であるか無限大に発散するので、いずれにせよ [1, 3] の中には入らない。
すなわち V は可測であってはいけない。
つまりルベーグ測度 λ はいかなる値も λ(V) の値として定義してはいけない。

http://chemicallogical.hatenablog.com/entry/2017/10/09/194528
インフラSE日記
2017-10-09
可算集合のルベーグ測度が0であることの証明
(抜粋)
コルモゴロフが構築した現代確率論を学習するときに、測度論は避けて通ることはできません。そこで、今回は基礎的な定理である「可算集合のルベーグ測度は0である」ということを証明しようと思います。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/949

950: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/28(木) 07:32:42.32 ID:7L3ElMut

>>949

つづき

ちなみに、測度と言えば「掛谷集合」という面白い集合があるのを知っていますか？
掛谷集合とは、以下の性質を満たす集合のことです。
任意の角度の長さ1の線分を含み、測度が0となるような二次元集合が存在する。
不思議な集合ですよね。
もともとは、長さ1の線分を回転させられるような集合で、面積が最小となるような集合は何かという数学者掛谷宗一の問題です。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93
ヒルベルト空間
(抜粋)
数学におけるヒルベルト空間（ヒルベルトくうかん、英: Hilbert space）は、ダフィット・ヒルベルトにその名を因む、ユークリッド空間の概念を一般化したものである。
これにより、二次元のユークリッド平面や三次元のユークリッド空間における線型代数学や微分積分学の方法論を、任意の有限または無限次元の空間へ拡張して持ち込むことができる。
ヒルベルト空間は、内積の構造を備えた抽象ベクトル空間（内積空間）になっており、そこでは角度や長さを測るということが可能である。
ヒルベルト空間は、さらに完備距離空間の構造を備えている（極限が十分に存在することが保証されている）ので、その中で微分積分学がきちんと展開できる。

ヒルベルト空間は、典型的には無限次元の関数空間として、数学、物理学、工学などの各所に自然に現れる。
ヒルベルト空間の例としては、自乗可積分関数の空間 L2、自乗総和可能数列の空間 ?2、超関数からなるソボレフ空間 Hs、正則関数の成すハーディ空間 H2 などが挙げられる。
定義
H がヒルベルト空間であるとは、H は実または複素内積空間であって、さらに内積によって誘導される距離関数に関して完備距離空間をなすことを言う[2]。

完備となるのは、任意のコーシー列がノルムに関する意味で H 内の元に収束することである。完備性は、次のような条件

ベクトル項級数 婆=0～∞(uk) が
婆=0～∞||uk|| < ∞
なる意味で絶対収束するならば、もとの級数は（部分和が H の元に収束するという意味で） H において収束する。
によっても特徴付けることができる。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/950

955: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/28(木) 21:24:02.18 ID:7L3ElMut

>>949
>http://chemicallogical.hatenablog.com/entry/2017/10/09/194528
>可算集合のルベーグ測度が0であることの証明
>コルモゴロフが構築した現代確率論を学習するときに、測度論は避けて通ることはできません

ついでに

（>>915より）
Sergiu Hart氏のPDF http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf
P2
Remark. When the number of boxes is finite Player 1 can guarantee a win
with probability 1 in game1, and with probability 9/10 in game2, by choosing
the xi independently and uniformly on [0, 1] and {0, 1, ・・・, 9}, respectively.
”independently and uniformly”が、独立同分布（IID)を含意

区間[0, 1]から、∀iで、任意の実数 xiを選べば、「ルベーグ測度は0」だから、的中確率も0だ
独立同分布（IID)で、”箱”つまり”i”の範囲は、有限あるいは無限どちらも無関係だ
よって、唯一の分布を考えれば良い。そして、繰返すが、区間[0, 1]から、任意の実を選べば、「ルベーグ測度は0」だから、的中確率も0だ
（時枝記事は、区間[0, 1]→R全体だから、さらに的中は難しい）

さて、∀i xi で確率0が、スタート地点になる！（最初はgoo!でなく、最初は確率0だ）
時枝記事で、最初の１列の無限個の箱∀i xi で確率0
が、時枝記事の並べ変えを行うと、∃i xi で確率99/100になるという

”確率0”は、大学で学ぶ現代確率論（確率過程論）よりの結論
一方”∃i xi で確率99/100”は、数学セミナーの時枝記事よりの結論
∃i xiの箱は、二つの異なる確率0と99/100と、二つの値を取ることになる（矛盾）
かつ
∃i xiの”i”については、そのときの決定番号との関係で、可能性としては、1～∞の値を取り得る
すると、1～∞の値のどの”i”についても、二つの異なる確率 0と99/100と、二つの値を取ることになる（さらに矛盾）

「1～100 のいずれかをランダムに選ぶ」とか、なに言ってるの？
大学で現代確率論を学べば、最初はgoo!ならぬ、”「ルベーグ測度は0」だから、的中確率も0”でしょ？ｗ（＾＾

大学の確率論・確率過程論が理解できない輩（やから）は、度しがたいね
まあ、確率変数の定義、確率変数の族が確率過程論の用語だと分らないようじゃねｗ（＾＾

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/955

964: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/28(木) 23:18:09.65 ID:7L3ElMut

へー、これか
Inter-universal geometry と ABC予想 37 ttps://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1552141221/152-154

>ルーリーのHTT

HTT Higher Topos Theory
http://www.math.harvard.edu/~lurie/
Jacob Lurie's Home Page
Department of Mathematics, Harvard University, Cambridge.

（こっちが最新みたい）
http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/HTT.pdf
Higher Topos Theory.
The latest version of my book on higher category theory. The book has now gone to press, but I will continue to keep an updated copy here (big thanks to Bruce Williams for showing me how to fix the formatting). Last update: April 2017 (reworked discussion of retracts and idempotents, fixing some errors, and added hyperlinks).

（旧版）
http://www.math.harvard.edu/~lurie/papers/highertopoi.pdf
highertopoi March 10, 2012 Annals of Mathematics Studies Number 170
Higher Topos Theory Jacob Lurie

>コンヌの非可換幾何 NCG

https://en.wikipedia.org/wiki/Noncommutative_geometry
Noncommutative geometry (NCG) is a branch of mathematics concerned with a geometric approach to noncommutative algebras, and with the construction of spaces that are locally presented by noncommutative algebras of functions (possibly in some generalized sense).

Contents
1 Motivation
1.1 Applications in mathematical physics
1.2 Motivation from ergodic theory
2 Noncommutative C*-algebras, von Neumann algebras
3 Noncommutative differentiable manifolds
4 Noncommutative affine and projective schemes
5 Invariants for noncommutative spaces
6 Examples of noncommutative spaces

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/964

965: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/29(金) 00:18:33.99 ID:C5XCq4tE

>>696 遠隔レスご容赦（＾＾
https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Mascheroni_constant
Euler-Mascheroni constant
Series expansions
In general,
γ＝lim(n→∞)1+1/2+1/3+…+1/n-log(n+α)≡lim(n→∞)γn(α)
for any α > －n .
However, the rate of convergence of this expansion depends significantly on α .
In particular, γn(1/2) exhibits much more rapid convergence than the conventional expansion γn(0).[7][8]
(引用終り)

log(n+α)＝log n(1+α/n)=log n+log(1+α/n)
として、log(1+x) のマクローリン展開下記で、２次の項を略すと
log(1+x)＝～xだから
log(n+α)＝～log n+α/n
α＝1/2 で、log(n+1/2)＝～log n+1/2n
γn(1/2) ＝～1+1/2+1/3+…+1/2n-log n となって、
γn(0)より、γn(1/2) は、1/2nだけ小さいんだ
この形が収束早いんだね（＾＾

https://mathtrain.jp/logtenkai
高校数学の美しい物語 :2016/01/08
log xのn階微分とテイラー展開
(抜粋)
f(x)=log(1+x) をマクローリン展開します。
log(1+x)=x?(x^2)/2+(x^3)/3?(x^4)/4+・・・
(引用終り)

(>>710より)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AA%BF%E5%92%8C%E6%95%B0_(%E7%99%BA%E6%95%A3%E5%88%97)
調和数 (発散列)
（Hnは調和数）
応用
2002年にジェフリー・ラガリアスは、リーマン予想が「不等式
σ (n)<= Hn+ln(Hn)e^Hn
が任意の自然数 n に対して成立し、かつ n > 1 のときは真の（等号無しの）不等式として成立する」という主張に等価であることを示した。ここで σ(n) は n の約数和である。
(引用終り)

なので、オイラーγにおいて
調和数Hn＝1+1/2+1/3+…+1/n が、数学的に深いというか難しいというか、それはlog nよりHnの方か（ζ並み）（＾＾
log nの方は、下記リンデマンの定理より超越数だしね
なお、当然ながら、Hn－log n という組み合わせも、扱いを一層難しくしている （＾＾；
おっちゃん見てないだろうが、一言（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
超越数
(抜粋)
(2) 初等関数の特殊値が超越数となる例
・代数的数 α ≠ 0, 1 に対する log α 。　(リンデマン)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/965

967: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/29(金) 07:14:55.98 ID:C5XCq4tE

>>955
>独立同分布（IID)で、”箱”つまり”i”の範囲は、有限あるいは無限どちらも無関係だ
>よって、唯一の分布を考えれば良い。そして、繰返すが、区間[0, 1]から、任意の実を選べば、「ルベーグ測度は0」だから、的中確率も0だ

唯一(ただ一つ)の分布を考えれば良い
独立同分布（IID)は、仮定つまり与件です。これは覆せない！（＾＾
まあ、”独立同分布（IID)”が、ピンと来ていないんだろうね。それは、大学教程の確率論・確率過程論を学べば分るが、”落ちこぼれ”には理解できないんだろうね
早く、>>31を実行してねｗ（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%8B%AC%E7%AB%8B%E5%90%8C%E5%88%86%E5%B8%83
(抜粋)
独立同分布（どくりつどうぶんぷ、英: independent and identically distributed; IID, i.i.d., iid）や独立同一分布（どくりつどういつぶんぷ）とは、確率論と統計学において、確率変数の列やその他の系が、それぞれの確率変数が他の確率変数と同じ確率分布を持ち、かつ、それぞれ互いに独立している場合をいう[1]。

ホワイトノイズ
ホワイトノイズは、IIDの単純な例である。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9B%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%83%88%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%82%BA
ホワイトノイズ
(抜粋)
よく聞くノイズの例で擬音語で表現するなら、「ザー」という音に聞こえる雑音がピンクノイズで、「シャー」と聞こえる音がホワイトノイズである。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9B%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%83%88%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%82%BA#/media/File:White_noise.png
ホワイトノイズの例

カラードノイズ
(有色雑音)
ホワイト
ピンク
ブラウニアン/レッド
グレイノイズ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/967

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