[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む62 (1002ﾚｽ)
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139(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/10(日)07:44 ID:rk/29Zdt(1/28) AAS
>>138
＜超限帰納法＞
ブリタニカ：αで番号づけるために，選択公理 (→ツェルメロの公理 ) を使って整列集合をつくらなければならないが，超限帰納法を直接使わないで，選択公理またはそれと同値な補題を使って証明することのほうが多い。
世界大百科事典：これでよい理由は，Pλが正しくないようなλがあったとして，そのようなλ全体の集合をMとすれば，Λが整列集合という仮定により，Mに最小元αがある。するとμ＜αならばPμが正しいのだから，Pαも正しいはずで，α∈Mに反する。
＜数学的帰納法＞
ブリタニカ：自然数全体の集合を定義したペアノの公理系の第5公理を基礎に導かれる論法である。そこでペアノの第5公理を数学的帰納法の公理と呼ぶ。
外部ﾘﾝｸ:kotobank.jp
省16
140(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/10(日)07:45 ID:rk/29Zdt(2/28) AAS
>>139
つづき
外部ﾘﾝｸ[B8]:kotobank.jp
コトバンク
(抜粋)
ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説
数学的帰納法
省9
142: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/10(日)09:33 ID:rk/29Zdt(3/28) AAS
>>139-140 補足
下記「超限帰納法」の証明、しっかり書いてあるのだが、長いので部分のみコピー
リンク先を見て下さい
外部ﾘﾝｸ[html]:cai3.cs.shinshu-u.ac.jp
集合の基礎的性質その３ 師玉康成 信州大
外部ﾘﾝｸ[html]:cai3.cs.shinshu-u.ac.jp
この文書について...
省19
143(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/10(日)09:38 ID:rk/29Zdt(4/28) AAS
>>139 補足
>ブリタニカ：αで番号づけるために，選択公理 (→ツェルメロの公理 ) を使って整列集合をつくらなければならないが，超限帰納法を直接使わないで，選択公理またはそれと同値な補題を使って証明することのほうが多い。
このブリタニカ説明が、ちょっと意味不明
選択公理を前提にしていると、いろんな推論で、心配がないことは言えると思うが、
「選択公理 (→ツェルメロの公理 ) を使って整列集合をつくらなければならない」とか
「超限帰納法を直接使わないで，選択公理またはそれと同値な補題を使って証明することのほうが多い」とか
これだけだと、意味わからん（＾＾
省22
144: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/10(日)09:50 ID:rk/29Zdt(5/28) AAS
>>141
>フチノも書いてるじゃん
>ユニヴァースの well-founded part については超限帰納法が成立するって
>基礎の公理がないからっていって、
>ユニヴァースの well-founded part が全然無くなる
>わけじゃないんだよ
そうだね
省19
149(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/10(日)11:06 ID:rk/29Zdt(6/28) AAS
>>143
＜Well-founded relation（後述引用ご参照）＞
１）
”on a class X if every non-empty subset S ⊆ X has a minimal element with respect to R, that is an element m not related by sRm (for instance, "s is not smaller than m") for any s ∈ S. In other words, a relation is well founded if
(∀ S ⊆ X)[S ≠ Φ → (∃ m ∈ S)(∀ s ∈ S) ¬ (sRm)].”
（>>138）「(Set9) 正則性公理 ∀a[a≠Φ→∃b(b∈a∧a∩b=Φ)]」などと対比するのが、分り易いかも
つまり、正則性公理は、set theoryだが、on a class Xとして、”Well-founded relation”を一度理解して、
省9
150(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/10(日)11:08 ID:rk/29Zdt(7/28) AAS
>>149
つづき
４）
”As an example, consider the well-founded relation (N, S), where N is the set of all natural numbers, and S is the graph of the successor function x → x + 1.
Then induction on S is the usual mathematical induction, and recursion on S gives primitive recursion.
If we consider the order relation (N, <), we obtain complete induction, and course-of-values recursion.
The statement that (N, <) is well-founded is also known as the well-ordering principle.”
省13
151(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/10(日)11:09 ID:rk/29Zdt(8/28) AAS
or any s ∈ S. In other words, a relation is well founded if
(∀ S ⊆ X)[S ≠ Φ → (∃ m ∈ S)(∀ s ∈ S) ¬ (sRm)].
Some authors include an extra condition that R is set-like, i.e., that the elements less than any given element form a set.
Equivalently, assuming the axiom of dependent choice, a relation is well-founded if it contains no countable infinite descending chains: that is, there is no infinite sequence x0, x1, x2, ... of elements of X such that xn+1 R xn for every natural number n.[1][2]
In order theory, a partial order is called well-founded if the corresponding strict order is a well-founded relation. If the order is a total order then it is called a well-order.
In set theory, a set x is called a well-founded set if the set membership relation is well-founded on the transitive closure of x.
The axiom of regularity, which is one of the axioms of Zermelo?Fraenkel set theory, asserts that all sets are well-founded.
省2
152(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/10(日)11:10 ID:rk/29Zdt(9/28) AAS
>>151 これ失敗でボツな（＾＾；
貼り直し
>>150
つづき
（参考引用）
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
(抜粋)
省11
153(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/10(日)11:12 ID:rk/29Zdt(10/28) AAS
>>152
つづき
Contents
1 Induction and recursion
2 Examples
3 Other properties
4 Reflexivity
省7
154: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/10(日)11:13 ID:rk/29Zdt(11/28) AAS
>>153
つづき
Other properties
If (X, <) is a well-founded relation and x is an element of X, then the descending chains starting at x are all finite, but this does not mean that their lengths are necessarily bounded. Consider the following example: Let X be the union of the positive integers and a new element ω, which is bigger than any integer.
Then X is a well-founded set, but there are descending chains starting at ω of arbitrary great (finite) length; the chain ω, n ? 1, n ? 2, ..., 2, 1 has length n for any n.
The Mostowski collapse lemma implies that set membership is a universal among the extensional well-founded relations: for any set-like well-founded relation R on a class X which is extensional, there exists a class C such that (X,R) is isomorphic to (C,∈).
Reflexivity
省8
155: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/10(日)11:20 ID:rk/29Zdt(12/28) AAS
>>143
>「選択公理 (→ツェルメロの公理 ) を使って整列集合をつくらなければならない」とか
（>>152より）
Equivalently, assuming the axiom of dependent choice, a relation is well-founded if it contains no countable infinite descending chains: that is, there is no infinite sequence x0, x1, x2, ... of elements of X such that xn+1 R xn for every natural number n.[1][2]
(引用終り)
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Axiom of dependent choice
省5
156: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/10(日)11:23 ID:rk/29Zdt(13/28) AAS
>>147-148
どうも。スレ主です。
それ、おもしろいわ（＾＾
157(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/10(日)12:29 ID:rk/29Zdt(14/28) AAS
>>149 補足
> ２）
>”When the well-founded relation is set membership on the universal class, the technique is known as ∈-induction.”
>”∈-induction”というのは、集合論で最初に使う”∈を使った順序”での、induction（帰納法）だよと
ちょっと繰り返しになるが、>>55-56にも引用したけど
”∈-induction”というのは、集合論で最初に使う”∈を使った順序”での、induction（帰納法）と見ることもできて
”equivalent to the axiom of regularity given the other ZF axioms”だと
省18
158: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/10(日)12:33 ID:rk/29Zdt(15/28) AAS
>>157
つづき
（>>55-56より再録）
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Epsilon-induction
(抜粋)
In mathematics, ∈ -induction is a variant of transfinite induction that can be used in set theory to prove that all sets satisfy a given property P[x].
省19
159(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/10(日)12:51 ID:rk/29Zdt(16/28) AAS
>>139
>＜数学的帰納法＞
>ブリタニカ：自然数全体の集合を定義したペアノの公理系の第5公理を基礎に導かれる論法である。そこでペアノの第5公理を数学的帰納法の公理と呼ぶ。
(参考)
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
ペアノの公理
(抜粋)
省14
160(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/10(日)12:52 ID:rk/29Zdt(17/28) AAS
>>159
つづき
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
(抜粋)
レーヴェンハイム?スコーレムの定理（英: Lowenheim?Skolem theorem）とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。
例と帰結
自然数を N、実数を R とする。この定理によれば、(N, +, ×, 0, 1) の理論（真の一階算術の理論）には非可算なモデルがあり、(R, +, ×, 0, 1) の理論（実閉体の理論）には可算なモデルがある。もちろん同型の違いを除いて、(N, +, ×, 0, 1) と (R, +, ×, 0, 1) を特徴付ける公理化が存在する。
省4
161: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/10(日)12:57 ID:rk/29Zdt(18/28) AAS
>>160
つづき
レーヴェンハイム-スコーレムの定理から導かれる結論の多くは、一階とそうでないものの違いがはっきりしていなかった20世紀初頭の論理学者にとっては直観に反していた
例えば、真の算術には非可算なモデルがあり、それらは一階のペアノ算術を満足するが、同時に帰納的でない部分集合を持つ
さらに、集合論の可算なモデルの存在である。集合論は実数が非可算であるという文を満たさなければならない。この直観に反するような状況はスコーレムのパラドックスと呼ばれ、可算性 は絶対的ではないことを示している
歴史
以下の記述は主に Dawson (1993) に基づいている。モデル理論の初期の歴史を理解するには、統語論的整合性（一階論理の推論規則を使って導かれるものには矛盾がないこと）と充足可能性（モデルがあること）を区別しなければならない
省10
162(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/10(日)13:07 ID:rk/29Zdt(19/28) AAS
>>159
>^ 坪井明人 数学基礎論サマースクール モデル理論入門
パワーポイントなので、ちょっと読みにくいが、貼る（＾＾
外部ﾘﾝｸ:www2.kobe-u.ac.jp
数学基礎論サマースクール ２０１１
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www2.kobe-u.ac.jp
チュートリアル2 モデル理論入門1 坪井明人（筑波大）
省7
163: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/10(日)13:28 ID:rk/29Zdt(20/28) AAS
>>160 追加参考＜対訳＞
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Lowenheim-Skolem theorem
(抜粋)
Examples and consequences
Many consequences of the Lowenheim?Skolem theorem seemed counterintuitive to logicians in the early 20th century, as the distinction between first-order and non-first-order properties was not yet understood.
One such consequence is the existence of uncountable models of true arithmetic, which satisfy every first-order induction axiom but have non-inductive subsets.
省11
164(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/10(日)13:40 ID:rk/29Zdt(21/28) AAS
>>162
まだ、下記の嘉田 勝先生の「超冪による自然数論の超準モデルの構成」の方が読める・・（＾＾；
外部ﾘﾝｸ:researchmap.jp
嘉田勝
外部ﾘﾝｸ[php]:researchmap.jp
資料公開
外部ﾘﾝｸ:researchmap.jp
省18
165: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/10(日)13:53 ID:rk/29Zdt(22/28) AAS
>>164 追加
ああ、これわりと良いわ（＾＾
PDF版の方がお薦め。絶対見やすい
外部ﾘﾝｸ:konn-san.com
数学関係をまとめておくばしょ konn-san.com
外部ﾘﾝｸ[html]:konn-san.com
超積によるコンパクト性定理の証明と超準モデル ──君の知らない自然数── konn-san.com
省14
166(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/10(日)14:04 ID:rk/29Zdt(23/28) AAS
>>162
関連
外部ﾘﾝｸ:www.math.tsukuba.ac.jp
坪井明人（筑波大）
外部ﾘﾝｸ[pdf]:www.math.tsukuba.ac.jp
数理論理学Ｉ 坪井明人（筑波大）
Mathematical Logic I
省15
167: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/10(日)14:14 ID:rk/29Zdt(24/28) AAS
>>166 追加
これは数学ではないが、ご参考まで
外部ﾘﾝｸ[pdf]:repository.kulib.kyoto-u.ac.jp
大きな数としての超準数
――超準数と厳格有限主義――
矢田部 俊介 科学哲学科学史研究 (2012), 6: 1-15 2012-02-28 京大紅リポジトリ
(抜粋)
省19
170(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/10(日)19:35 ID:rk/29Zdt(25/28) AAS
>>68
>新歓でちょっとした数学の記事を書くんだけど、「数学がZFCから作られていることを実感してもらうためにZFからペアノの公理のモデルでも構成するか」とか思ってたの、難しすぎ感あるな。
二つのコースがあって
１）一つは、前スレ61で下記に示すように、ZF中で正則性公理を使うコース
２）も一つは、ピエロちゃんの、ZF中で正則性公理を使わないコース
(引用終り)
ここ、いままでを纏めると、下記
省12
171(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/10(日)19:37 ID:rk/29Zdt(26/28) AAS
>>170
つづき
６．さらに、正則性公理の意味の補足
「>=, we have 1 >= 1 >= 1 >= ・・・」の例類似で、”∈を使った順序”で、∋は >=では無く、>（等号=含まず）(>>150と>>152)」だとか、
正則性公理の意味の別の側面で、それは極小元の存在保証（無限降下列禁止）の意味があるとか、そういう蘊蓄を、付け加えておけば、新歓としては良いだろうね（＾＾
（参考）
外部ﾘﾝｸ[pdf]:fuchino.ddo.jp
省21
172(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/10(日)22:54 ID:rk/29Zdt(27/28) AAS
>>170
（追加参考）
外部ﾘﾝｸ:repository.lib.tottori-u.ac.jp
外部ﾘﾝｸ[pdf]:repository.lib.tottori-u.ac.jp
第二階論理によるペアノ算術 田畑 博敏 鳥取大学教育地域科学部 2002
(抜粋)
はじめに
省14
173: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/10(日)22:54 ID:rk/29Zdt(28/28) AAS
>>172
つづき
第一階論理を基礎にした第一階ペアノ算術には，自然数の構造に代表される，意図されたモデルとは同型でないモデル，非標準モデルが存在するO このことは，第一階論理において成り立つコンパクト性定理からの帰結である。
他方以下の補題(補題1. 2. 1)に見るように，第一階ペアノ算術のモデルである構造免が標準的数しか持たないことと，標準的数の集合がAにおいて第一階の式によって定義可能であることとは，必要十分の関係にある。
よって，第一階ペアノ算術が非標準モデルを持つということは意図された数(標準的数)が第一階の論理式では定義できない，ということを意味する。
「算術を適確に表現する」という観点からも，第一階論理の表現力の弱さが，ここで浮彫りになる。
さて，第一階ペアノ算術の非標準モデル，すなわち，意図された標準モデルと同型でないモデルの存在は，第一階論理のコンパクト性定理から(大まかには)以下のように導かれる。
省4
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