現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む62

[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む62 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
通常表示 512ﾊﾞｲﾄ分割ﾚｽ栞
抽出解除必死ﾁｪｯｶｰ(本家) (べ) 自ID ﾚｽ栞あぼーん

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

417: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/17(日) 09:57:26.63 ID:gAStfvWk

>>416 追加

石井大海さん、下記
「実は，集合の宇宙はこの順序数に沿ってボトムアップに構成されている，ということがわかります*2)：
*2) これは実際には von Neumann による基礎の公理のお陰で証明出来るので，
Cantor らの頃の公理化されていない集合論の定理ではありません．
しかし，こうした生成的な集合観は基礎の公理が提案される以前から集合論者の脳裡にあったものです．」
とあるので、やはり「基礎の公理」は必要みたいだねｗ（＾＾

なお、「集合論への招待*～実数直線の集合論～」面白い（＾＾
渕野先生力説のZFC後の集合論ですな
https://konn-san.com/profile.html
プロフィール konn-san.com
https://konn-san.com/math/
数学関係をまとめておくばしょ konn-san.com
https://konn-san.com/math/freshman-2016-resume.pdf
2016/06/04 第4回つくばフレッシュマンセミナー「集合論への招待　～実数直線の集合論～」（資料）石井大海 筑波大学数理物質科学研究科数学専攻博士後期課程 1 年
(抜粋)
集合論創始者の称号は，その提唱者である Cantor と Dedekind に帰せられますが，Cantor はこうした基数や順序数の概念その
ものの研究に向かっていったのに対し，Dedekind はそれを数学の基礎付けに応用したり，数論に応用してみ
せるなど数学の「基礎言語」としての研究を積極的に行いました．こうした二人の問題意識は，形を変えて現
代の集合論にも受け継がれています．
ひとまず，まずは基本的な定義と順序数について定義しましょう：

Def. 1. ? V により集合全体の成すクラスを表す．V を宇宙と呼ぶ．
? 関係 R が A 上で整礎 def ←＝→ 任意の A の空でない部分集合が R-極小元を持つ．
? (A, R) が整列集合 def ←＝→ R は A 上の整礎な全順序．

実は，集合の宇宙はこの順序数に沿ってボトムアップに構成されている，ということがわかります*2)：
*2) これは実際には von Neumann による基礎の公理のお陰で証明出来るので，
Cantor らの頃の公理化されていない集合論の定理ではありません．
しかし，こうした生成的な集合観は基礎の公理が提案される以前から集合論者の脳裡にあったものです．

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/417

418: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/17(日) 09:57:47.78 ID:gAStfvWk

>>417

つづき

順序数の理論は非常に簡明ですので，Cantor は基数の理論をこれに帰着させたい，と考えました．この要
求の結果として出て来たのが，今日では選択公理と同値である事で有名な次の整列定理です．

定理 2 (整列定理). 任意の集合について，その上の整列順序が存在する．
さて，全単射が存在するなら，二つの集合の濃度は等しいといっていいだろう，というのが Cantor の着想
でした．順序数を用いれば，以下のようにして濃度の等しい集合の代表元としての基数を定義出来ます：

Godel はこの L が ZFC + GCH のモデルになっていることを示し
ました．しかし，ここでアレ？と思った人が出て来たかもしれません．なぜな
ら，Godel の不完全性定理により「ZF から ZF の無矛盾性は示せない」はず
なのに，ここでは ZF の下で ZF + AC + GCH のモデルを構成したことになっています．ZF より大きな理論
が無矛盾なんですから，結局そこから ZF の無矛盾性が出て来る筈で，となると結局 ZF から ZF 自身の無矛
盾性を示してしまったように見えます．
実は，実際に Godel が示したことは，「この L を 外側（メタレベル）から眺めると，あたかも ZFC + GCH のモデルであ
るかのように見える」ということです．より厳密には，次のメタ定理を示したのです：

Cohen はこんにち強制法と呼ばれる手法を編み出し，この定理を証明しました．Godel の L が宇宙 V を内
側に削っていくものであったのに対し，強制法は逆に V を外側へと拡張していくもので，有理数体 Q に超越
数 α を添加した Q(α) を考えるようなものです．
Cohen は，集合論の宇宙 V をとって，その外側から新たな実数を ｱﾚﾌ2 個付け加えることによって連続体仮
説を破ったのです．
しかし，厳密には V の「外側」の元など存在しません．ではどのようにこれを実現したのかといえば，集合
の概念を，所属確率付きの集合に拡張する，というのが強制法の核となる考え方です．確率といっても，実数
値の確率ではなく，付け加えたい元の近似条件をその代わりに用います．より詳しく，添加したい「理想元」
を自由度で並べた擬順序集合を用います：

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/418

422: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/17(日) 11:02:24.33 ID:gAStfvWk

>>416
＞順序数αが順序数の集合Cの最小元である⇔α∩C＝\emptyset というのは、どうも確かめる度にぱずりんぐ

(>>397より)
・極小元を、x_minとする。∈を、等号（=）を含まない、不等号＜に書き換える
　↓
・極小元を、x_minとする。∈は不等号＜と考えるが書き換えはなし
として、
下記で、y→y_minとして（>>397より）
http://blacaman.tripod.com/cursos/pdf/2012-2_0941.pdf
An Introduction to Independence Proofs K KUNEN/キューネン First edition: 1980 Seventh impression: 1999 （藤田 博司 (翻訳)）
P100
§4. The Axiom of Foundation
AXIOM 2. Foundation.
∀x(∃y_min (y_min ∈x)→∃y_min (y_min ∈x ∧ ￢∃z(z∈x ∧ z∈y_min))).
Equivalently, if x ≠ 0, ∃y_min ∈ x (x ∩ y_min = 0),
（参考：x ∈ A ∩ B ←→ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) (3.2) (>>316 尾畑伸明)
　z∈x ∧ z∈y_min ←→ z ∈ x ∩ y_min、
　￢∃z(z∈x ∧ z∈y_min) → z＝0 つまり x ∩ y_min = 0）
or every non-empty set has an ∈-minimal element,
となる

（補足）
・y_min ∈x で、y_minは極小元
・z∈xで、xの元で z∈y_min なるzがあると、（かつ ∈を、不等号＜と考えると）、y_minが極小元であることに反する
　↓↑
”∀x(∃y_min (y_min ∈x)→∃y_min (y_min ∈x ∧ ￢∃z(z∈x ∧ z∈y_min))).
　Equivalently, if x ≠ 0, ∃y_min ∈ x (x ∩ y_min = 0),”

言われて見ると、そうかという感じだが
　そう言われても、なかなか理解しずらいね

特に、”∈を、等号（=）を含まない、不等号＜と考える”という視点を入れないと、なかなか見えづらい
　”∈を、不等号＜（等号（=）含まず）と考える”という視点は、
　上記の後で

”x∈x”不成立とか、”x∈y ∧ y∈x”は不成立とかの中から、もやっと出てくるのだが・・（＾＾
　こういう低レベルの表現は、だれもしてくれない
　まあ「ぱずりんぐ」ですよね（＾＾

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/422

504: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/17(日) 18:13:09.41 ID:gAStfvWk

>>503
おっちゃん、どうも、スレ主です。
お疲れさまです
「東京大学ですが何か？ｗ」、「フランスのENSなんだがねｗ」とウソつきサイコパスの相手、ご苦労さま

(>>43 より）
(ご参考)
典型的サイコパスのウソつき反応
京大重川先生の確率論基礎 講義ノートが読めてないと“いじられる”
　　↓
「東京大学ですが何か？ｗ」と脊髄反射でウソを吐く
要するに、京大より自分が上だと、とっさのウソを言ったわけだ
だが、だれがピエロが東大だと思うのかね？　そのウソが通用すると思うところが怖いよね（＾＾
(引用終り)

（市川秀志　徹底研究 （ https://finance.yahoo.co.jp/cm/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl&sort=2&prev_post_date=1494659113 ）
スレ32 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1495369406/
462 自分返信：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む[sage] 投稿日：2017/05/25(木) 10:16:12.79 ID:/bwT01kG [12/30]
(抜粋)
No.56287 2017/05/13 18:01
>>No. 56285
フィールズ賞受賞者が多いのは東大や京大より、フランスのENSなんだがねｗ

No.56286 2017/05/13 17:58
>>No. 56284
>お前はアメリカの大学でも出たのか（笑
いや、大学はでていない

No.56282 2017/05/13 17:11
ま、東大や京大のようなアジアの辺境の田舎大学には関心がないｗｗｗ
(引用終り)

http://karapaia.com/archives/52268417.html
あの人って実はサイコパス？科学が教えてくれるサイコパスを見分ける方法とその付き合い方 カラパイア 2018年12月06日

息を吐くように嘘をつく
　まず、近しい人がサイコパスかどうかを知る最初の手がかりは、よどみなく、息を吐くように嘘をついていないかどうかだ。

隠し事あるいは何らかの目的を遂げるために、サイコパスはさまざまな状況で相手に嘘を吐いて、騙そうとする。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/504

508: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/17(日) 21:46:38.39 ID:gAStfvWk

”可測関数X: Ω→Ω’
・関数のことを確率変数と呼ぶ
　関数を出力と同一視（混同）する(X=X(w))
　関数がランダムなわけではない”

”P10 なぜこんな定義をするのか
（Ω, B, P)がわからずX だけ観測できる人には
Ｘがランダムである場合も含む定義になっている
そこで関数X(w) とその出力値X を同一視して
確率変数(random variable)と呼ぶことにした。
これで「ランダムでないとはいえないもの」が定義された”

確率変数と”変数”の違いが分らない人がいるな（＾＾；

（スレ61より https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1550409146/131 ）
131 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2019/02/20(水)
過去の確率変数論争（”確率変数は箱に入れられない”）に対し、下記の説明いいね！（＾＾
http://watanabe-www.math.dis.titech.ac.jp/users/swatanab/intro_prob_theory.pdf
確率論入門 渡辺澄夫 東工大 2018
(抜粋)
P8 確率変数
可測関数X: Ω→Ω’
を（Ω’に値をとる）確率変数という
・関数のことを確率変数と呼ぶ
　関数を出力と同一視（混同）する(X=X(w))
　関数がランダムなわけではない

P9 確率変数の気持ち
W
（Ω, B, P)
数学的に定義されるが
観測できないものとする
運（w)の決め方は
定めないでおく
　↓
Ｘ=X(w)
Xの値は 実世界で ランダムでない とはいえない

P10 なぜこんな定義をするのか
もともとランダムに値をとるということを数学的に
定義することができなくて困っていた
（Ω, B, P)がわからずX だけ観測できる人には
Ｘがランダムである場合も含む定義になっている
そこで関数X(w) とその出力値X を同一視して
確率変数(random variable)と呼ぶことにした。
これで「ランダムでないとはいえないもの」が定義されたがランダムとは何かについてはわからないままである
(引用終わり)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/508

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.046s