現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む62

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725: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/23(土) 07:24:07.65 ID:ZJxlATSv

テンプレ
（>>13）
渕野先生は、”厳密性を数学と取りちがえるという勘違い”を書いているぞ(下記)（＾＾
「イメージ」がお気に召さなければ、「ビジョン」といっても良い

ニュートン、ライプニッツ、オイラー、ガウス、コーシー、アーベル、ガロア、リーマン、デデキント・・・
みんな各人、数学に対する明確なビジョンがあって、彼らの数学的業績がある
（しばしば、厳密性な証明は後から与えられることも多くあった）

(引用開始)
スレ24 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1475822875/654 より
（抜粋編集）
あなたのまったく逆を、渕野先生が書いている
”厳密性を数学と取りちがえるという勘違い”
https://www.amazon.co.jp/dp/4480095470
数とは何かそして何であるべきか デデキント 訳解説 渕野昌 筑摩書房2013
「数学的直観と数学の基礎付け 訳者による解説とあとがき」
P314
(抜粋)
数学の基礎付けの研究は，数学が厳密でありさえすればよい， という価値観を確立しようとしているものではない.
これは自明のことのようにも思えるが，厳密性を数学と取りちがえるという勘違いは，
たとえば数学教育などで蔓延している可能性もあるので，
ここに明言しておく必要があるように思える

多くの数学の研究者にとっては，数学は，記号列として記述された「死んだ」数学ではなく，
思考のプロセスとしての脳髄の生理現象そのものであろう
したがって，数学はその意味での実存として数学者の生の隣り合わせにあるもの，と意識されることになるだろう
そのような「生きた」「実存としての」(existentialな)数学で問題になるのは，
アイデアの飛翔をうながす(可能性を持つ)数学的直観」とよばれるもので，
これは， ときには，意識的に厳密には間違っている議論すら含んでいたり，
寓話的であったりすることですらあるような，
かなり得体の知れないものである
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/725

730: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/23(土) 09:44:34.38 ID:ZJxlATSv

>>728
γ などは周期でない数の尤もらしい候補
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%91%A8%E6%9C%9F_(%E6%95%B0%E4%BD%93%E7%B3%BB)
周期 (数体系)

数学の特に解析数論周辺分野における周期（しゅうき、英: period）は、ある種の代数的な領域上でとった代数函数の積分として表される複素数を言う。周期全体の成す集合は、和と積に関して閉じており、環を成す。

Maxim Kontsevich and Don Zagier (2001) は周期の概念を導入し、周期に関するいくつかの予想について述べた論説である。
目次
1 定義
2 例
3 分類の目的

定義
与えられた実数が周期であるとは、それが有理数係数多項式不等式として与えられたユークリッド空間内の領域の体積の差として与えられるときに言う。より一般に、与えられた複素数が周期であるとは、その実部および虚部がともに周期となるときに言う。

代数的数係数の有理函数に対して、代数的数係数の多項式不等式で与えられる ?n 内の領域上でとった、絶対収束積分値もまた周期となる（これは、そのような積分や代数的無理数が適当な領域上の面積として表せることによる）。

例
代数的数以外では、以下の数が周期の例となることが知られている:

・任意の代数的数の自然対数
・円周率 π
・有理数を引数とする楕円積分
・任意のゼータ定数（英語版）（整数引数に対するリーマンゼータ函数の特殊値）および任意の多重ゼータ値（英語版）
・代数的数における超幾何函数の特殊値
・自然数 p, q に対するガンマ函数の値 Γ(p/q)q

周期でない実数の例は、チャイティンの定数 Ω によって与えられる。計算可能数（英語版）であって周期となるあるいはならない自然な例というのは今のところ知られていないが、人工的な例はカントールの対角線論法を用いて容易に作れる。
ネイピア数 e, 1/π, オイラー?マスケローニ定数 γ などは周期でない数の尤もらしい候補と考えられる。

分類の目的
周期は、代数的数と超越数の間を埋める橋渡しとなるものである。代数的数のクラスは多くのよく知られた数学定数を含めるためには狭すぎ、また超越数の全体は可算でなくその元は一般には計算可能でない。これに対し周期全体の成す集合は可算であり、任意の周期は計算可能[1]で、特に決定可能（英語版）である。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/730

731: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/23(土) 09:46:47.43 ID:ZJxlATSv

無限ね（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
公理的集合論
(抜粋)
ZF 公理系

・無限公理　空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：
∃ A(Φ ∈ A←→ ∀ x∈ A(x ∪ {x}∈ A)) 。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90%E5%85%AC%E7%90%86
無限公理

定義
ZF公理系における公式な定義は次の通りである。

空集合を要素とし、任意の要素 x に対して x ∪ {x} を要素に持つ集合が存在する：
∃ A(Φ ∈ A←→ ∀ x∈ A(x ∪ {x}∈ A))

解釈と帰結
上記定義では「無限」という言葉は用いられていないが、この公理によって（少なくとも1つの）無限集合の存在が保証されることになる。

各手続きで得られた集合を要素とする集合を B:={Φ ,{Φ },{Φ ,{Φ }},・・・ }とおくと、 B は A の部分集合である。
この手続きは何回でも繰り返すことができるが、もし有限回で終えた場合、 B は有限集合であり、 A ≠ Bである。
なぜならば定義により B ∪ {B}∈ A であるが、 B ∪ {B} not∈ B となるからである。
一方 A が有限集合であれば、この手続きを繰り返すことで B が A よりも多くの要素をもつことができてしまう。
従って A は有限集合ではない（すなわち無限集合である）ため、無限公理を採用すれば直ちに無限集合の存在を認めることになる。

上記の手続きはペアノの公理における自然数の構成方法と同様である。ZFC公理系において、自然数全体の集合は無限集合の中で最小のものである。（可算集合）

独立性
無限公理はZF公理系において独立した公理である。すなわちZF公理系の他の公理たちから導くことも反証することもできない。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/731

732: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/23(土) 09:47:16.21 ID:ZJxlATSv

>>731

つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%87%E3%83%87%E3%82%AD%E3%83%B3%E3%83%88%E7%84%A1%E9%99%90
デデキント無限
(抜粋)
数学において、集合A がデデキント無限（Dedekind-infinite）である、またはデデキント無限集合であるとは、A と同数（equinumerous）であるようなA の真部分集合B が存在することである。つまり、A とA の真部分集合B の間に全単射が存在するということである。集合 A がデデキント無限でないとき、デデキント有限であるいう。

デデキント無限は、自然数を用いないような最初の無限の定義である。選択公理を除いたツェルメロ・フレンケルの公理系は、任意のデデキント有限集合は有限個の元を持つという意味での有限である、ということを証明するだけの強さを持たない[1]。デデキント無限以外にも、選択公理を用いない有限集合や無限集合の定義が存在する。

目次
1 通常の無限集合の定義との比較
2 ZFにおけるデデキント無限
3 歴史
4 選択公理との関係
5 可算選択公理を仮定した無限との同値性の証明
6 一般化

通常の無限集合の定義との比較
デデキントの意味での“無限集合”は、普通の意味での無限集合と比較されるべきであろう:

集合A が無限であるとは、どのような自然数 n に対しても、{0,1,2,..., n -1}（有限順序数）と A との間に全単射が存在しないことである。
無限とは、全単射が存在しないという意味で文字通り有限でないという集合である。

19世紀後半、多くの数学者はデデキント無限であることと通常の意味の無限は同値であると単純に考えていた。しかし実際は、選択公理（“AC”）を除いたツェルメロ・フレンケルの公理系（通常、“ZF”と表記される）からは、その同値性は証明されえない。弱いACを使うことで証明でき、フルの強さは要求されない。その同値性は、可算選択公理（“CC”）より真に弱い形で証明できる。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/732

751: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/23(土) 11:33:25.79 ID:ZJxlATSv

>>749
かの有名なフェルマーの最終定理のワイルズ先生
”発表したのに、自分では見つからなかった致命的なミスが見つかってしまうのは避けたかった。
「誰かのチェックを受けるとき来た」ワイルズは決意した”
そして、同僚であるプリンストン大学の教授、ニック・カッツに頼んだのだった
おっちゃんも、同じだよ
”「誰かのチェックを受けるとき来た」”
https://noji.wpblog.jp/2016/06/22/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86%E3%80%80350%E5%B9%B4%E8%B6%8A%E3%81%97%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%83%89%E3%83%A9%E3%83%9E%E3%80%8033/
フェルマーの最終定理　350年越しの数学ドラマ　3/3 ODD CODES 2016年6月22日
(抜粋)
発表したのに、自分では見つからなかった致命的なミスが見つかってしまうのは避けたかった。
「誰かのチェックを受けるとき来た」
ワイルズは決意した。

研究を話せる人間の条件は二つ。

一つは、研究を共有する価値がある、つまりワイルズが特に不安と感じていたコリヴァギン＝フラッハ法周辺の数論に精通している専門家であること。
もう一つは、研究を共有しても安全な、要するに口の堅い人物であることだ。

白羽の矢が立ったのは、同僚であるプリンストン大学の教授、ニック・カッツであった。

カッツを中に招き入れたワイルズは部屋の扉をそっと閉めてから、ぎりぎり聞こえる大きさで話し始めたという。
「フェルマーを証明できそうなんだ」
当然、カッツは度肝を抜かれた。

カッツは快諾したが、二つほど問題があった。
一つはワイルズの証明があまりにも長く難解なものであったので、検証にはまとまった時間が必要であったこと。
もう一つが、大学の研究室で二人集まって研究をしていては周囲の好奇を引き寄せてしまうこと。

がて、二人は大胆な方法を考え付く。大学の授業として研究するのだ。
それからしばらくして、ワイルズは大学で授業を開いた。

やがて授業が開催されたはいいが、受講する生徒は一人、また一人と減っていき、とうとう最後の一人となってしまう。カッツだ。
そして予定していた授業を終えた後、カッツはワイルズへOKサインを出した。
つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/751

753: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/23(土) 11:36:23.71 ID:ZJxlATSv

つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%83%AB%E3%82%BA%E3%81%AB%E3%82%88%E3%82%8B%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86%E3%81%AE%E8%A8%BC%E6%98%8E
ワイルズによるフェルマーの最終定理の証明
(抜粋)
目次
1 ワイルズの証明以前の進展
1.1 フェルマーの最終定理
1.2 ワイルズ以前の特定の指数に関する部分的な解
1.3 谷山・志村・ヴェイユ予想
1.4 フライ曲線
1.5 フライ曲線を用いたフェルマーの最終定理への挑戦
1.6 リベットの定理

フライ曲線
上記の議論とは独立に、1960年代後半、Yves Hellegouarchがフェルマー予想の解(a,b,c)を全く別の数学的概念である楕円曲線と関連付けることを思いついた[6]。この曲線は(x, y)座標平面上の以下の関係を満たすすべての点によって構成されている。

y^{2}=x(x-a^{n})(x+b^{n})
このような楕円曲線は特殊な性質をもっている。これは等式の数に高次の指数が出現するためであり、またa^n + b^n = c^nもまた n次の指数であるためである。

1982-1985年において、ゲルハルト・フライはHellegouarchの曲線の特殊な性質に着目し、これは現在フライ曲線（英語版）と呼ばれている。フライ曲線はモジュラーでない楕円曲線がフェルマーの最終定理に対する反例を与えることになるというアイディアを提示することでフェルマーの最終定理と谷山・志村予想の橋渡しとなった。

より平易な言葉で言えば、フライの研究はフェルマーの最終定理を否定するような数の組(a, b, c, n)は、谷山・志村予想を否定することも可能であろうと考えるに足るような理由を与えた。よって、もし谷山・志村予想が真であれば、フェルマーの最終定理を否定するような数の組も存在しないであろう。よってフェルマーの最終定理もまた真であろうと考えられるのである。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/753

754: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/23(土) 11:37:21.69 ID:ZJxlATSv

>>753

つづき

（数学的にはこの予想は有理数の係数を持つ楕円曲線は、単に等式を与えるだけでなく、モジュラー関数を用いる方式で x y 座標上にパラメトリック方程式として構成することも可能ということを述べている。
つまりこの予想はQ上のすべての楕円曲線はモジュラー楕円曲線（英語版）でなければならないということを言っており、フェルマーの最終定理にゼロでない2より大きい a, b, c, n が存在する場合はこれがモジュラーでない楕円曲線に対応するため、矛盾となるのである）
そのため、谷山・志村予想を証明・反証した場合はフェルマーの最終定理もまた同時に証明・反証されることになるのである[7]。

1985年にはジャン・ピエール・セールがフライ曲線がモジュラーでないことを部分的に証明した。セールは完全な証明を与えなかったので、証明に欠けていた部分はイプシロン予想（英語版）として知られるようになった。
これは現在、リベットの定理（英語版）として知られている。セールの主な関心は（谷山・志村予想を暗示する）モジュラーガロワ表現上のセール予想というもっと野心的な予想にあった。セールの証明は完璧ではなかったものの、半安定状態の楕円曲線とフェルマーの最終定理のつながりをほぼ確実なものとするに至った。

4.1 ワイルズの証明の解説
・Overview of Wiles proof, accessible to non-experts, by Henri Darmon
http://www.ams.org/publications/journals/notices/201703/rnoti-p209.pdf
・very short summary of the proof by Charles Daney
https://web.archive.org/web/20081210102243/http://cgd.best.vwh.net/home/flt/flt08.htm
・140 page students work-through of the proof, with exercises, by Nigel Boston
https://www.math.wisc.edu/~boston/869.pdf
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/754

760: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/23(土) 12:05:18.15 ID:ZJxlATSv

>>751 補足

2016年 アーベル賞か、賞金１億円らしい
おっちゃん、がんばれ（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A2%E3%83%B3%E3%83%89%E3%83%AA%E3%83%A5%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%83%AB%E3%82%BA
アンドリュー・ワイルズ（Andrew John Wiles, 1953年4月11日 - ）
論文は1995年のAnnals of Mathematicsに掲載された。再度の審査の結果、証明は確認され、ワイルズのフェルマー予想解決が認められた。
1998年 フィールズ賞特別賞
2016年 アーベル賞

（カッツさん）
https://en.wikipedia.org/wiki/Nick_Katz
Nick Katz
Nicholas Michael Katz (born December 7, 1943) is an American mathematician, working in algebraic geometry, particularly on p-adic methods, monodromy and moduli problems, and number theory. He is currently a professor of Mathematics at Princeton University and an editor of the journal Annals of Mathematics.
He played a significant role as a sounding-board for Andrew Wiles when Wiles was developing in secret his proof of Fermat's last theorem.

(別人のカッツ（Kac）さん)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%AF%E3%83%88%E3%83%AB%E3%83%BB%E3%82%AB%E3%83%83%E3%83%84
ヴィクトル・カッツ
ヴィクトル・カッツ（英語: Victor Gershevich Kac, 1943年12月19日 - ）は、ソビエト連邦生まれの数学者である。 表現論に貢献し、カッツ・ムーディ代数を定義した。
https://en.wikipedia.org/wiki/Victor_Kac
Victor Kac
Kac-Moody algebra

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/760

783: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/23(土) 18:26:55.66 ID:ZJxlATSv

旧聞ですが
https://www.cnn.co.jp/showbiz/35134465.html
「数学のノーベル賞」にアーレンベック氏、女性の受賞は史上初 CNN 2019.03.20

（ＣＮＮ） 数学のノーベル賞と呼ばれるアーベル賞の受賞者に、米テキサス大学教授のキャレン・アーレンベック氏（７６）が選ばれた。女性がアーベル賞を受賞するのは史上初。

アーベル賞は、この分野に多大な影響を与えた数学者にノルウェー国王から授与される。賞金は６００万クローネ（約７８００万円）。同賞は２００３年に創設された。

アーレンベック氏は偏微分方程式の研究で有名だが、長年のキャリアの中で物理学、幾何学、量子論など幅広い分野を横断する実績を挙げてきた。

テキサス大学自然科学校のポール・ゴールドバート学長は、「アーレンベック氏の研究は数学と物理学の交わりの革命的な進歩につながった」と述べている。

中でも特に有名なのは、せっけんの泡に着想を得た予測数学の理論だった。せっけんの泡の薄い曲面は、面積を最小限に抑えた形を形成する「極小曲面」の実例とされる。こうした局面の挙動に関する研究は、幅広い研究分野でさまざまな現象について理解を深める役に立つ。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AD%E3%83%A3%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%82%A2%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%83%E3%82%AF
キャレン・アーレンベック（Karen Keskulla Uhlenbeck, 1942年8月24日 - ）

オハイオ州クリーブランド出身。シカゴ大学、イリノイ大学アーバナ・シャンペーン校を経て、1988年からテキサス大学オースティン校で数学の教鞭を執っている。2007年にはハーバード大学から名誉博士号を授与された。彼女はマッカーサーフェローにも選ばれている。
現在はブラウン大学の教授であるGeorgios Daskalopoulosを含む16人の博士課程の生徒を指導した。

アーレンベックは、1964年にミシガン大学から学士号を得、1968年にブランダイス大学から博士号を授与された。
博士論文のタイトルは”Calculus of Variations and Global Analysis”だった。彼女の専門は偏微分方程式、変分法、ゲージ理論、可積分系、ヴィラソロ代数、非線形波動、非線形シュレーディンガー方程式等である。

https://en.wikipedia.org/wiki/Karen_Uhlenbeck
Karen Keskulla Uhlenbeck (born August 24, 1942)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/783

784: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/23(土) 18:36:11.88 ID:ZJxlATSv

>>783

物理や確率過程論で、Uhlenbeck（男性）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%BC%E3%82%B8%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%83%E3%82%AF
ジョージ・ウーレンベック（George Eugene Uhlenbeck、1900年12月6日 - 1988年10月31日）はアメリカ合衆国に移住したオランダの物理学者である。電子のスピンの発見者とされる。

ウーレンベックとゴーズミットは、電子が自転しながら原子核のまわりを回っていると仮定して、この自転運動にスピンと言う名前をつけた。相対性理論に矛盾するモデルであったが、エーレンフェストが彼らが「充分若いのでバカなことをしても許される」として論文を投稿したというエピソードは有名である。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%EF%BC%9D%E3%82%A6%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%83%E3%82%AF%E9%81%8E%E7%A8%8B
オルンシュタイン＝ウーレンベック過程（-かてい、英: Ornstein?Uhlenbeck process）は、レナード・オルンシュタインとジョージ・ウーレンベックの名にちなんだ確率過程である。平均回帰過程（へいきんかいきかてい）とも呼ばれる。

一般化
オルンシュタイン＝ウーレンベック過程は、背後過程を（ウィーナー過程より一般的な）レヴィ過程とした拡張が可能である。このような確率過程については、オーレ・バーンドルフ＝ニールセンらによって研究されている。
正確にはgeneralised Ornstein-Uhlenbeck過程と呼ばれるが、その由来は形が似ているだけでなく、generalised Langevin方程式（generalised　Black-Scholes方程式＜ブラック・ショールズのレヴィ過程版＞とLangevin方程式のレヴィ過程版を合体させたもの）の解になるのではないかと推理されていた。しかし、近年、それらが解の関係にはならないことが証明されている。
その証明の際には、generalised Langevin方程式の解が与えられ、YORの本によればセミマルチンゲールの場合に一般化された解も与えられている。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/784

785: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/23(土) 18:50:40.53 ID:ZJxlATSv

>>784
”married biophysicist Olke C. Uhlenbeck (the son of physicist George Uhlenbeck) in 1965”か
なるほど。”Uhlenbeck”は、珍しいからね（＾＾
https://en.wikipedia.org/wiki/Karen_Uhlenbeck
Karen Uhlenbeck

She began her graduate studies at the Courant Institute of Mathematical Sciences at New York University, and married biophysicist Olke C. Uhlenbeck (the son of physicist George Uhlenbeck) in 1965.
When her husband went to Harvard, she moved with him and restarted her studies at Brandeis University, where she earned an M.A. (1966) and Ph.D. (1968) under the supervision of Richard Palais.[1][3]

https://en.wikipedia.org/wiki/George_Uhlenbeck
George Eugene Uhlenbeck (December 6, 1900 ? October 31, 1988) was a Dutch-American theoretical physicist.[1]

In mid-September 1925, Uhlenbeck and Goudsmit introduced electron spin, which posits intrinsic angular momentum for the electron.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/785

787: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/23(土) 19:48:37.75 ID:ZJxlATSv

>>784
スピン
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%83%94%E3%83%B3%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F
スピン角運動量
(抜粋)
スピン角運動量（スピンかくうんどうりょう、英: spin angular momentum）は、量子力学上の概念で、粒子が持つ固有の角運動量である。単にスピンとも呼ばれる。

「スピン」という名称はこの概念が粒子の「自転」のようなものだと捉えられたという歴史的理由によるものであるが、現在ではこのような解釈は正しいとは考えられていない。なぜなら、スピンは古典極限 ?→0において消滅する為、スピンの概念に対し、「自転」をはじめとした古典的な解釈を付け加えるのは全くの無意味だからである[1]:p196。

スピン量子数が半整数 1/2, 3/2, … になる粒子をフェルミオン、整数 0, 1, 2, … になる粒子をボゾンといい、両者の物理的性質は大きく異る(詳細はそれぞれの項目を参照)。2016年現在知られている範囲において、

・フェルミオンである素粒子のスピン量子数は全て 1/2 である
・ボゾンである素粒子はヒッグス粒子のみスピン量子数が 0 であり、それ以外のボゾン素粒子のスピン量子数は 1 である。
・複合粒子のスピン量子数はそれ以外の値も取りうるが、単純に複合粒子を構成する素粒子のスピン量子数の合計値になるわけではない。例えばヘリウム原子のスピン量子数は 0 であるが、これを構成する素粒子である電子やクォークはいずれもフェルミオンであり、したがってそのスピン量子数は半整数である。

非相対論的な量子力学において、スピン角運動量はそれ以外のオブザーバブルとは大きく異る振る舞いをする為、スピン角運動量を記述するためだけに理論の修正を迫られる。それに対し相対論的量子力学では、例えばディラック方程式の定義それ自身にスピンの概念が織り込まれているなど、より自然な形でスピンが定式化される。

本稿では以下、特に断りがない限り非相対論な量子力学に対するスピンの概念について述べる。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/787

788: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/23(土) 19:49:27.39 ID:ZJxlATSv

>>787

つづき

歴史
ナトリウムのスペクトルを観測する実験で、磁場においたD線が 2 本に分裂することが発見され（ゼーマン効果）、これは電子がいまだ知られていない 2 値の量子自由度があるためと考え、1925年にウーレンベックとゴーズミットは、電子は原子核の周りを公転する軌道角運動量の他に、電子が質点ではなく大きさを持ち、かつ電子自身が自転しているのではないか、という仮説をたてた[10][11]。
この仮定では、その自転の角運動量の大きさが {\displaystyle \hbar /2} \hbar /2であるとし、自転の回転方向が異なるため、公転に伴う角運動量との相互作用でエネルギー準位が 2 つに分裂したと考えると実験の結果をうまく説明できた。そしてこの自由度を電子のスピン角運動量と呼んだ。

ただし、実際にこの仮定通りスピン角運動量が電子の自転に由来していると考えると、電子が大きさを持ち、かつ光速を超える速度で自転していなければならないことになり、これは特殊相対論と矛盾してしまう。そのため、1925年にラルフ・クローニッヒ（英語版） によって提案されたものの、パウリによって否定されていた。
パウリは、自転そのものを考えなければならない古典的な描像を捨て、一般の角運動量 {\displaystyle \hbar {\hat {\mathbf {J} }}} {\displaystyle \hbar {\hat {\mathbf {J} }}} の固有値として半整数の価が許されることに注目し、この半整数の固有値をスピン角運動量とした[12]。

その後発展した標準模型においても、電子は大きさ 0 の質点として扱っても実験的に高い精度で矛盾がなく、電子に内部構造があるか（スピン角運動量などの内部自由度に起源があるか）はわかっていない。

スピンと統計性
s が半整数の値をもつような粒子はフェルミ粒子であり、s が整数値をとる粒子はボース粒子であることが知られている。s の値と統計性の間のこのような関係は、相対論的な場の量子論によって説明できる。
(引用終り)
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/788

795: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/23(土) 21:48:41.41 ID:ZJxlATSv

（>>617より）
http://www.ams.org/journals/bull/2013-50-04/S0273-0979-2013-01423-X/S0273-0979-2013-01423-X.pdf
AMS
Euler's constant: Euler's work and modern developments
Author: Jeffrey C. Lagarias
Journal: Bull. Amer. Math. Soc. 50 (2013), 527-628
(抜粋)
2. Euler’s work

He also had private tutorials in mathematics from Johann
Bernoulli (1667?1748), who was Professor ofMathematics at the University of Basel.
Johann recognized Euler’s mathematical gift and convinced his family to let him
switch to mathematics. Euler was excellent at computation and had an essentially
photographic memory. He had great persistence and returned over and over again
to problems that challenged him.
(引用終り)

”photographic memory”
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%98%A0%E5%83%8F%E8%A8%98%E6%86%B6
映像記憶
(抜粋)
映像記憶（えいぞうきおく、英: Eidetic memory）は、生物が眼に映った対象を映像で記憶したもの、またはその能力のこと。写真記憶、直観像記憶ともいう。

ヒトでは幼少期にこの能力は普通に見られ、通常は思春期以前に消失する。だがこの「消失」とは、その能力自体の消失か、それとも、なくなった様に思えても潜在的には存在しているのか、正確にはわかってない。
京都大学霊長類研究所の研究では、チンパンジーの幼獣にも映像記憶の能力があることがわかり、その事からチンパンジーの子供の記憶力は、ヒトの成人を上回ると考えられている。
この点から、知能の発達した類人猿では野生の世界で生存するための手段として、この能力が発達した可能性があり、その意味では原始的な記憶能力と考えられる。ヒトは言語によって自然界の事象を抽象的に把握する能力が向上したために、映像記憶の能力が衰えたとも考えられる。類人猿以外の動物にも同様の能力があるかどうかはわかっていない。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/795

796: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/23(土) 21:49:39.57 ID:ZJxlATSv

>>795

つづき

ただしヒトには成人後も、映像記憶能力を保ち続ける者がわずかではあるが存在する。映像記憶能力の保持者は、電車の中から一瞬見えた風景を後から緻密にスケッチしたり、本を紙面ごと記憶したりできる。速読術、記憶術などと関連付けて後天的な技術としての獲得を目指す人もいる。イメージ訓練や瞑想などがその訓練方法である。

映像記憶能力を持つ、あるいは可能性の高い著名人

・七田眞 - 右脳開発の提唱者。
・ジョン・フォン・ノイマン - 数学者、科学者

https://en.wikipedia.org/wiki/Eidetic_memory
Eidetic memory
(抜粋)
Prevalence
A few adults have had phenomenal memories (not necessarily of images), but their abilities are also unconnected with their intelligence levels
According to Herman Goldstine, the mathematician John von Neumann was able to recall from memory every book he had ever read.[15]
Notable claims

https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_people_claimed_to_possess_an_eidetic_memory
List of people claimed to possess an eidetic memory
(抜粋)
・The mathematician Leonhard Euler has been characterized as having an eidetic memory.[12]
He was able to, for example, repeat the Aeneid of Virgil from beginning to end without hesitation, and for every page in the edition he could indicate which line was the first and which was the last even decades after having read it.[12]
・The mathematician John von Neumann was able to memorize a column of the phone book at a single glance.[28] Herman Goldstine wrote about him:
"One of his remarkable abilities was his power of absolute recall. As far as I could tell, von Neumann was able on once reading a book or article to quote it back verbatim; moreover, he could do it years later without hesitation."[29]
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/796

798: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/23(土) 23:46:34.40 ID:ZJxlATSv

”＊大学数学への心構え……長岡亮介”読んだけど
いまどきの大学新入生も大変だなーという印象ですね（＾＾
https://www.nippyo.co.jp/shop/magazines/latest/4.html
数学セミナー 　2019年4月号
特集＝ 大学数学のキーポイント（前篇）

＊大学数学への心構え……長岡亮介　8

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%95%B7%E5%B2%A1%E4%BA%AE%E4%BB%8B
長岡 亮介（ながおか りょうすけ、1947年 - ）は、日本の数学者。

聖光学院中学校・高等学校卒業。オフコースの小田和正、鈴木康博らと同期。
東京大学理科一類入学[3]、東京大学理学部数学科卒業。東京大学大学院理学系研究科科学史科学基礎編専門課程単位取得退学。
津田塾大学学芸学部数学科講師/助教授、大東文化大学法学部教授、放送大学教養学部教授を歴任。放送大学を2008年3月に退職。
上智大学理工学部非常勤講師、2009年から明治大学理工学部数学科特任教授、2017年明治大学退職。現在は「意欲ある若手数学教育者支援組織 TECUM」主催者。

元駿台予備学校数学科講師。駿台予備校時代はカリスマ講師として君臨した。東進ハイスクール数学科講師の長岡恭史は弟。

https://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/cdbd82914186c4b8dda69ab77e6efa07
学習参考書が電子書籍化され始めている件 とね日記 2017年07月16日

長岡亮介先生による定番の分厚い学習参考書。電子書籍で手軽に持ち歩けるのはありがたい。

なお、長岡先生は「高校数学標準講義」という動画サイトを無料公開されている。（PDF資料を見ながら動画の講義を聞く形式で数学I, II, III, A, B, Cの授業が聴講できる。）
http://edupa.org/?p=4904

大学への数学（研文書院）
http://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/6124158481ed8d9d4655478643be0db8

復刻版 チャート式 代数学、幾何学（数研出版）
http://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/709402c3bc0ad74ebb4fe0969f9f7e4

寺田文行先生の「数学の鉄則」シリーズ
http://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/412539f939c8058c9b57368f98abce16

出題者心理から見た入試数学： 芳沢光雄
http://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/cb84c7c5627fb06c83901d7f9dcc6b20

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/798

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