[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む62 (1002ﾚｽ)
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174(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/11(月)07:49 ID:NUGiaq8/(1/12) AAS
>>171
> 「>=, we have 1 >= 1 >= 1 >= ・・・」の例類似で、”∈を使った順序”で、∋は >=では無く、>（等号=含まず）(>>150と>>152)」だと
下記 「例えばx={x}のような集合やx∈yかつy∈xなる集合は正則性の公理の下では集合にはなり得ない」という記述が、上記の「∋は >=では無く、>（等号=含まず）」に該当するね
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
正則性公理
(抜粋)
V=WF
省4
175(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/11(月)07:59 ID:NUGiaq8/(2/12) AAS
>>172
（参考追加）
外部ﾘﾝｸ:en.wikipedia.org
Peano axioms
(抜粋)
4 Models
4.1 Set-theoretic models
省10
176: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/11(月)07:59 ID:NUGiaq8/(3/12) AAS
>>175
つづき
Contents
1 Existence
1.1 From the compactness theorem
1.2 From the incompleteness theorems
1.2.1 Arithmetic unsoundness for models with ~G true
省15
177(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/11(月)09:01 ID:NUGiaq8/(4/12) AAS
>>172 補足追加
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
二階述語論理
(抜粋)
一階述語論理と同様に議論領域（ドメイン）の考え方を使う。
ドメインとは、量化可能な個々の元の集合である。一階述語論理では、そのドメインの個々の元が変項の値となり、量化される。
例えば、一階の論理式 ∀x (x ≠ x + 1) では、変項 x は任意の個体を表す。二階述語論理は個体の集合を変項の値とし、量化することができる。
省18
178(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/11(月)20:48 ID:NUGiaq8/(5/12) AAS
>>177 追加の追加
「ゲーデルやスコーレムが一階述語論理に固執したこともあって、二階や高階の述語論理はほとんど省みられなかった」
「近年、二階述語論理は一種の回復の途上にある」
か、なるほどねー（＾＾
外部ﾘﾝｸ:ja.wikipedia.org
二階述語論理
(抜粋)
省14
179(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/11(月)20:49 ID:NUGiaq8/(6/12) AAS
>>178
つづき
近年、二階述語論理は一種の回復の途上にある。この傾向をもたらしたのは George Boolos による二階の量化の解釈であり、彼は一階の量化と同じドメインでの複数形の量化として二階の量化を解釈した。
Boolos はさらに一階述語論理では記述できない文を例に挙げ、完全な二階述語論理の量化でのみそれらを表現可能であるとした。
計算複雑性理論への応用
有限な構造についての二階述語論理の各種形式の表現能力は、計算複雑性理論と密接に関係している。
二階述語論理を前提として次のような複雑性クラスを説明できる。
省2
180(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/11(月)23:04 ID:NUGiaq8/(7/12) AAS
>>179 追加
>近年、二階述語論理は一種の回復の途上にある。この傾向をもたらしたのは George Boolos による二階の量化の解釈であり
これ、下記のゲーデルの補足と、圏論との関連をご参照
圏論と高階論理は、結構関連があり、その影響もあっての”回復の途上”だろう
>計算複雑性理論への応用
ここは、C++さんがご専門だろう（＾＾
アロンゾ・チャーチ、ラムダ計算の創案者との関係もある
省8
181(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/11(月)23:08 ID:NUGiaq8/(8/12) AAS
>>180
つづき
（圏論（トポス）と高階論理）
外部ﾘﾝｸ:staff.fnwi.uva.nl
PhD candidate at Institute for Logic, Language and Computation, University of Amsterdam.
トポスと高階論理 Taichi Uemura 2018年12月9日
この文書は Category Theory Advent Calendar 2018 (外部ﾘﾝｸ:adventar.org *) の 9 日目の記事です。
省21
182(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/11(月)23:15 ID:NUGiaq8/(9/12) AAS
>>181 追加
>（圏論（トポス）と高階論理）
こんなのもヒットしたね（＾＾
外部ﾘﾝｸ:www.amazon.co.jp
圏論による論理学―高階論理とトポス 単行本 ? 2007/12/1 清水 義夫
出版社: 東京大学出版会
20世紀後半、数学、計算機科学、論理学などの分野で採用されてきている圏論。関数概念を基本として現象をとらえようというこの方法を、関数型高階論理とトポスを題材にして丁寧に解説する。論理学の観点を中心に、圏論の考え方を紹介するテキスト。
省28
183(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/11(月)23:36 ID:NUGiaq8/(10/12) AAS
>>174
正則性公理に、「もやもや感」がある人のご参考（＾＾
外部ﾘﾝｸ[html]:www.cs-study.com
集合論：正則性 (Regularity) 24th Jan. 2018 (Updated) Akihiko Koga
(抜粋)
Axiom of Regularity
∀ A (A ≠ Φ => ∃ X ∈ A (X ∩ A = Φ))
省21
184(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/11(月)23:40 ID:NUGiaq8/(11/12) AAS
>>183 補足
>A を A ∈ A となる集合とする． 次の図（と言って良いかどうか）のように B := {A} とおけば，この B が正則性に反する．
> 画像ﾘﾝｸ[png]:www.cs-study.com
個人的には、この図が結構納得感があるよ（＾＾
185: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE 2019/03/11(月)23:55 ID:NUGiaq8/(12/12) AAS
>>182
そういえば、竹内外史先生の「層圏トボス」という本があったね（＾＾
下記PDF、これに関連していて、図が多くて、面白いかも。竹内先生の本で見たような図もあるかな
スティーブ・アウディ先生は、圏論の訳本があったね
1 階様相論理だが、ヒットしたので貼る
外部ﾘﾝｸ[pdf]:repository.kulib.kyoto-u.ac.jp
位相と様相 ―1 階様相論理への拡張― 科学哲学科学史研究 (2006), 1: 91-108
省10
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