現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む62

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1: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/07(木) 22:02:17.29 ID:c0bwFOdp

この伝統あるガロアすれは、皆さまのご尽力で、
過去、数学板での勢いランキングで、常に上位です。

このスレは、現代数学のもとになった物理・工学の雑談スレとします。たまに、“古典ガロア理論も読む”とします。
それで宜しければ、どうぞ。
後でも触れますが、基本は私スレ主のコピペ・・、まあ、言い換えれば、スクラップ帳ですな～（＾＾
最近、AIと数学の関係が気になって、その関係の記事を集めています～（＾＾
いま、大学数学科卒でコンピュータサイエンスもできる人が、求められていると思うんですよね。

スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。関連のアーカイブの役も期待して。
話題は、散らしながらです。時枝記事は、気が向いたら、たまに触れますが、それは私スレ主の気ままです。

スレ46から始まった、病的関数のリプシッツ連続の話は、なかなか面白かったです。
興味のある方は、過去ログを（＾＾

なお、
小学レベルとバカプロ固定
サイコパスのピエロ（不遇な「一石」https://textream.yahoo.co.jp/personal/history/comment?user=_SrJKWB8rTGHnA91umexH77XaNbpRq00WqwI62dl 表示名:ムダグチ博士 Yahoo! ID/ニックネーム:hyperboloid_of_two_sheets （Yahoo!でのあだ名が、「一石」）
（参考）http://blog.goo.ne.jp/grzt9u2b/e/c1f41fcec7cbc02fea03e12cf3f6a00e サイコパスの特徴、嘘を平気でつき、人をだまし、邪悪な支配ゲームに引きずり込む 2007年04月06日
（なお、サイコの発言集「実際に人を真っ二つに斬れたら 爽快極まりないだろう」、「狂犬」、「イヌコロ」、「君子豹変」については後述（＾＾； ）
High level people
低脳幼稚園児のAAお絵かき
上記は、お断り！
小学生がいますので、18金（禁）よろしくね！（＾＾

（旧スレが1000オーバー（又は間近）で、新スレを立てた）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/1

9: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/07(木) 22:06:23.29 ID:c0bwFOdp

個人的には、下記のように、”知恵袋の人>>> ５ＣＨ（旧２ＣＨ）の人”と思う（＾＾

http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1484442695/494
494 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2017/04/17
前にも紹介したが、新入生もいるだろうから、下記再掲しておく。なお、信用できないに、私スレ主も含めること。定義から当然の帰結だが（＾＾；
https://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n98014
Yahoo 知恵袋
数学の勉強法　学部～修士
ライター：amane_ruriさん 最終更新日時:2012/8/6
ナイス！：5閲覧数：11594
(抜粋)
私は修士1年生ですので、正直に言いますとこの部分はあまり書いているのが正しいとは思えません。趣味で書いているものだと認識していただければ良いのではないかと思っております。
大学3、4年に入ってまず怖いのが数学の本の氾濫でしょう。まず何を読んで何をすればいいのか分からなくなります。
そして、自分のやっていることがいかにちっぽけな存在なのかというのを実感させられます。（多分皆がそうでしょう。）そして、結果が問われてきます。
ここで、数学科は「入るのは易しいけどプロになるのは難しい」ということが実感させられてきます。
2012年8月3日現在、書泉グランデで有名数学者の薦める本がありました。森重文先生を初めとして本の多さに圧倒されました。（足立恒雄先生は信頼と安心のブレなさ）

2. 2ｃｈ*)の内容は信用できるか？
基本的に信用できません。先生＞周りの人＞＞＞ 2ｃｈ*)や知恵袋の人です。何故かというといつも同じことしか言っていないから。多分きちんと検証していないで想像で議論しているだけではないのかと私は思っています。
（まあ、自分もあんまり信用できないけど）
数学をする場合は、問題が解けることも重要なのですが問題設定を作ることが大切です。そういう時に、どういう風に学んできたのかとか、正確な知識がどういう部分でどれだけ持っているのか、調和性や、生まれて来た環境っていうのが重要になってきます。
ただ、それがどうも2ｃｈ*)の人は見られない（し、そもそも偉そうなことを言っている人が本当にできるかどうか分からない。）。こういう類のものは勉強不足ですとか、分かっていませんでしたで済まされるものではないと個人的には思うのですが。
(引用終り) (注*)：2ｃｈは、現5ｃｈ)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/9

21: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/07(木) 22:13:59.94 ID:c0bwFOdp

さてさて、
時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）まとめについては
スレ47 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/11-67 ご参照！
（ 特に時枝記事アスキー版 スレ47 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1512046472/18-25 ）

スレ54 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1540684573/94
94 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 投稿日：2018/11/01(木) ID:ypCHJLQo
>>89
>「どの同値類が来ても、それに対応する(有限値の)決定番号を準備出来ますよ」
>ということです
>だから決定番号が有限に収まる確率は1になる

突然で、話が見えない人も多いだろうから、簡単に書くと
数学セミナー 2015年11月号 箱入り無数目 時枝 正（下記参考）で

話の前提は、こうだったね
１）可算無限個の箱の列（まあ自然数で１番～n番までの箱で、n→∞を実現したよと）
２）箱に任意の数を入れる（実数でもなんでも良し。重複も許す）
３）この数列を、列のしっぽの同値類で分類する
４）二つの数列において、ある番号mから先の数列しっぽが一致するとき、mを決定番号と呼ぶ

で、その流儀の説明倣えば
ａ）決定番号が１になる確率（２列の全ての、しっぽの対応する箱の数が、一致する場合の確率）は、０（∵しっぽが可算無限個の箱の列だから）
b）決定番号が２になる確率（２列の２番目以降の全ての、しっぽの対応する箱の数が、一致する場合の確率）は、０（∵しっぽが可算無限個の箱の列だから）
c）以下同様に、決定番号がｋになる確率（２列のｋ番目以降の全ての、しっぽの対応する箱の数が、一致する場合の確率）は、０（∵しっぽが可算無限個の箱の列だから）
d）よって、どの有限な決定番号を考えても、それ以降の全ての、しっぽの対応する可算無限個の箱の数が、一致する場合の確率は、０になります ！！（＾＾ （∵しっぽが可算無限個の箱の列だから）
（参考）
https://www.nippyo.co.jp/shop/magazine/6987.html
数学セミナー 　2015年11月号
　箱入り無数目───────────────時枝 正　36
(引用終り)

ほぼほぼ、時枝は、「ぷふ」さんのおかげで完全終了です！ ＼（＾＾）／

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/21

35: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/07(木) 22:24:25.32 ID:c0bwFOdp

>>34
つづき

（ピエロ）
過去スレ 57 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1546308968/725
725 名前：１３２人目の素数さん[] 投稿日：2019/01/12(土) 10:12:52.57 ID:EgDrd5kK [6/24]
>>720
＞X=(X_1,X_2,…)をR値の独立な確率変数とする．

それ、時枝氏の発言じゃないよ
ID:f9oaWn8Aの発言でしょ

要するにID:f9oaWn8Aが間違ってるってことです
時枝戦略の予測確率を計算するのに、
そんなものを確率変数とするのが間違い

間違った発言に固執し続けるとかほんろ、アタマ悪いね
(引用終り)

（私スレ主）
過去スレ 57 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1546308968/731
731 自分：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2019/01/12(土) 10:31:21.03 ID:bEkkM7c0 [11/26]
人の記憶は、自分に都合の良いことだけを記憶するというが
サイコパスは、特に顕著だね～（＾＾
時枝先生も、確率変数を箱に入れると書かれています（下記）
でもね、だれが書いたとか、言ったとか、そういう話しじゃ無い

根本的に、初歩の初歩「確率変数ってなに？」が分っていない
そういうことです
で、初歩の初歩「確率変数ってなに？」が分っていない人が、したり顔で時枝を語るの図
まさに、サイコパスそのものだね（＾＾；

(引用開始)
過去スレ35 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1497848835/15 時枝問題（数学セミナー201511月号の記事）
(抜粋)
独立な確率変数の無限族
X1，X2，X3，…

n番目の箱にXnのランダムな値を入れられて，ある箱の中身を当てようとしたって，
その箱のX と他のX1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立なら，
当てられっこないではないか－－他の箱から情報は一切もらえないのだから.
(引用終り)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/35

55: １３２人目の素数さん [sage] 2019/03/08(金) 10:12:17.75 ID:HVq5OYm0

>>50
>正則性公理があると、帰納法の議論が、簡単になるのも事実だなｗ

正則性公理：Given the other axioms of Zermelo?Fraenkel set theory, the axiom of regularity is equivalent to the axiom of induction.
つまりは、ZF上で、正則性公理と帰納法公理は、同値だと

https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_regularity
Axiom of regularity
(抜粋)
In mathematics, the axiom of regularity (also known as the axiom of foundation) is an axiom of Zermelo?Fraenkel set theory that states that every non-empty set A contains an element that is disjoint from A.

The axiom of regularity was introduced by von Neumann (1925); it was adopted in a formulation closer to the one found in contemporary textbooks by Zermelo (1930). Virtually all results in the branches of mathematics based on set theory hold even in the absence of regularity; see chapter 3 of Kunen (1980).
However, regularity makes some properties of ordinals easier to prove; and it not only allows induction to be done on well-ordered sets but also on proper classes that are well-founded relational structures such as the lexicographical ordering on {(n,α ) ｜ n ∈ ω ∧ α is an ordinal }.

Given the other axioms of Zermelo?Fraenkel set theory, the axiom of regularity is equivalent to the axiom of induction.
The axiom of induction tends to be used in place of the axiom of regularity in intuitionistic theories (ones that do not accept the law of the excluded middle), where the two axioms are not equivalent.

In addition to omitting the axiom of regularity, non-standard set theories have indeed postulated the existence of sets that are elements of themselves.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/55

56: １３２人目の素数さん [sage] 2019/03/08(金) 10:16:27.24 ID:HVq5OYm0

>>55

つづき
"This principle, sometimes called the axiom of induction (in set theory), is equivalent to the axiom of regularity given the other ZF axioms. "だと（＾＾
https://en.wikipedia.org/wiki/Epsilon-induction
Epsilon-induction
(抜粋)
In mathematics, ∈-induction (epsilon-induction) is a variant of transfinite induction that can be used in set theory to prove that all sets satisfy a given property P[x].
If the truth of the property for x follows from its truth for all elements of x, for every set x, then the property is true of all sets. In symbols:
∀ x (∀ y(y∈ x→ P[y])→ P[x] )}→ ∀ x P[x]
This principle, sometimes called the axiom of induction (in set theory), is equivalent to the axiom of regularity given the other ZF axioms.
∈-induction is a special case of well-founded induction.
The Axiom of Foundation (regularity) implies epsilon-induction.
The name is most often pronounced "epsilon-induction", because the set membership symbol ∈ historically developed from the Greek letter ε .

以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/56

58: １３２人目の素数さん [sage] 2019/03/08(金) 11:11:23.96 ID:HVq5OYm0

>>55 補足
>Virtually all results in the branches of mathematics based on set theory hold even in the absence of regularity; see chapter 3 of Kunen (1980).
>However, regularity makes some properties of ordinals easier to prove; and it not only allows induction to be done on well-ordered sets
>Kunen, Kenneth (1980), Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, Elsevier, ISBN 978-0-444-86839-8

検索すると、海賊版かもしらんが、下記PDFヒット
これ、しばしばお世話になっている藤田 博司先生の和訳があるかな？
http://blacaman.tripod.com/cursos/pdf/2012-2_0941.pdf
An Introduction to Independence Proofs K KUNEN 著 First edition: 1980 Seventh impression: 1999

https://www.amazon.co.jp/dp/4535783829/ref=pd_lpo_sbs_14_t_1?_encoding=UTF8&psc=1&refRID=8NKTZE2Q63MR3BRQEWQX
集合論―独立性証明への案内 単行本 ? 2008/1/1
(抜粋)
ケネス キューネン (著), Kenneth Kunen (原著), 藤田 博司 (翻訳)
ナラバ博士
5つ星のうち5.0
第２章の章末問題はとくに面白い
2009年4月5日
形式: 単行本
集合論のうち，とくに２０世紀第３四半期における強制法（フォーシング）の研究に焦点をあてた入門書である。
数学科（数理科学コース）の１・２年向けの集合論の授業では，数学全分野のための予備知識として１９世紀後半の集合論を扱うのがふつうであろう。
本書が扱うのはより高度な話題である。原書は研究分野としての集合論への入門書として評価が高い。
評者は大学院修士課程１年生のときに原書を通読した。
強制法への伏線として第２章でマーティンの公理を扱っており，この章の章末問題には面白いものが多いと感じた。
時間をかけて翻訳した本書の訳は大変読みやすく，ところどころに親切な訳注が添えられている。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/58

59: １３２人目の素数さん [sage] 2019/03/08(金) 11:29:25.48 ID:HVq5OYm0

>>57 追加

(引用開始)
スレ61 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1550409146/920
(抜粋)
920 返信：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2019/03/06(水) 21:00:28.46 ID:NUjaXEYj [2/5]
>>914
別に難しいことは言っていない
話しは単純で
ペアノの公理で、自然数の集合で
（>>866より）
自然数が整列集合＝数学的帰納法成立 （公理として同値）
とすれば、
ＺＦから、”自然数が、整列集合 or 数学的帰納法成立”が導けなければいけない
ＺＦだけでね
普通の高校や大学の集合論では、「数学的帰納法は、当然です」と、まあ公理にするか、触れずにすますか（触れても触れなくても似たようなものでしょうが）
それはともかくとして、触れてもせいぜいペアノ公理くらいでお茶濁す
で、ＺＦで、「自然数が整列集合＝数学的帰納法」 （公理として同値なので、どちらを導いても良いが）
に直結するＺＦ中の公理が、フォン・ノイマンの正則性公理だよというだけのことです
(引用終わり)

で、「正則性公理：Given the other axioms of Zermelo-Fraenkel set theory, the axiom of regularity is equivalent to the axiom of induction.
つまりは、ZF上で、正則性公理と帰納法公理は、同値」だから、間違っていないし

但し、>>58 Virtually all results in the branches of mathematics based on set theory hold even in the absence of regularity; see chapter 3 of Kunen (1980).
だから、正則性公理なしでも、自然数が整列集合 or 数学的帰納法成立 （公理として同値） が導けるだろうね

ピエロちゃん、やれよ、その証明を、具体的にさ ｗ（＾＾
前スレで豪語したでしょ？ ホレホレ

そのために、Kunen (1980).のPDF見つけてやったよ（>>58）
ホレホレ

まあ、読めないだろうね、あんたのレベルじゃねｗ（＾＾

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/59

99: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/09(土) 00:27:42.89 ID:9Sqq12HI

>>98

サイコパスのウソ
何も出ないのは分ったよ
仕方ないから
下記、これ出すよｗ（＾＾；

スレ61 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1550409146/987
987 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2019/03/08(金) 14:34:23.63 ID:nHTjj5G+
Nのモデルを
…∈ 10 ∈9 ∈8 ∈7 ∈6 ∈5 ∈4 ∈3 ∈2 ∈1 ∈0
となるように作ろう！
(引用終り)

そう、だれか書いてくれたが、これだね
渕野昌先生が、同じことを書いている

順序の定義：順序数α,βに対し， α∈βをα＜βと表わし, "α∈βまたはα＝β”をα≦βと表わすことにする．
順序も定義せずに、”正則”と叫ぶバカがいる

公理系の議論をしているときに、定義もなしに議論するバカ

”∈”を使って、順序”＜”を定義する
これ
フォン・ノイマンが案出した巧妙なトリックなのだ（＾＾
（下記二つのPDFご参照。まあ、凡人には無理かも）

http://fuchino.ddo.jp/misc/goedel-universe.pdf
渕野 昌，連続体仮説とゲーデルの集合論的宇宙（ユニヴァース）， 現代思想，2007年2月臨時増刊号 (2007), 94-116
(抜粋)
Ｐ13
フォン・ノイマンがここで案出したもう一つの巧妙なトリックは、
このように帰納的に定義することと結果として同じになるような順序数の内的な定義を与えることであった。
具体的には、「要素が集合の帰属関係∈ で 整列されるような集合を順序数とする」
として順序数を定義する。
また２つの順序数α、β
に対し、順序関係α < β を、
α ∈ β となることで定義するのである。
この順序数の定義により、各々の順序数は、それより小さい順序数の全体となり、
それらは各順序型に関して一意に決まり、その大小関係にそって、
数学的帰納法の議論のできるようなものとなるのである。
(引用終り)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/99

118: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/09(土) 10:38:04.74 ID:9Sqq12HI

>>117

つづき

http://evariste.jp/kagami/diary/0000/200410.html#20041010-1
2004年10月10日(日) 正則の公理
(抜粋)
重様な概念である「整順(well founded)な関係」を定義します。
[整順な関係の定義]
集合 上の二項関係 R(x,y)が整順(well founded)であるとは次の条件を満たすことである。
（略）
言い替えるとXの空でない部分集合に対して R(x,y)のYに「極小元」が存在するという感じでして、
実際定義で現れる（略） に対するの極小元と呼ぶのです。
さてここで「正則の公理」を導入して、すべての集合がＶの要素であることを証明する準備が出来ました。
[正則の公理(axiom of regualarity)]
（略）
[定理]
（略）
言い替えると
（略）
もっとはっきりと言い替えると
クラスＶは集合全体のユニヴァースである！！
正則の公理を「基礎の公理(axiom of foundation)」と呼ぶこともあります。
正則の公理の導入により、集合全体がこのように「空集合から巾集合を順序数 にそって積み上げ、それを合併の公理により張り合わせる」という集合を拡張 する三つの大きな操作、
即ち「巾集合の公理」「合併の公理」「置換公理」に より美しい形で表現可能であることは驚きであるとともに、
現代の集合論の公 理の整合性を強く示唆するものであると思うのであります。
さて証明ですが、まず次の事実に注意します。
　正則の公理→任意の集合上で∈は整順な関係。
この事実は「正則の公理」が「任意の集合は∈に関する極小元を持つ」という事実を表現していることに注意すれば明らかです。
さらに次の事実に注意します。
xを推移的な集合とするとき x∈Ｖ
これを証明するためには x⊂Ｖであることを示せば十分です（x の各要素のrankを考える)。
実際そうでないとすると、（略）となるので（略）に関する極小元を（略）とすします。
するとzの極小性により（略） の推移性により （略） の定義に矛盾します。最後に次の事実
x∈Ｖ ←→ tc(x)∈Ｖ
を示せば定理の証明は完了ですが、これは推移的閉包の定義によりほとんど明 らかです。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/118

134: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/09(土) 22:06:22.85 ID:9Sqq12HI

>>118
渕野昌先生（＾＾
「基礎の公理を放棄することは， 超限帰納法を駆使する集合論的数学の大きな部分について， そのような数学での結果を，ユニヴァースの well-founded part に制限したときに成り立つ結果と読みかえる，ということを余儀無くされることを意味します．
私には，基礎の公理を放棄することで， この「超限帰納法を駆使する集合論的数学の大きな部分を放棄する」という 大きな犠牲の代償となるような数学的な何かが得られるようには思えないのです．」
http://fuchino.ddo.jp/foundation.html
基礎の公理の成り立たない集合論 (non well-founded set theory) について
渕野 昌(Sakae Fuchino) Last modified: Sat Aug 13 14
（この文章はまだ書きかけです）
(抜粋)
基礎の公理 (Axiom of Foundation) は，
(1)
すべての集合 x に対し，x の要素で， ∈ （の transitive closure として得られる（前）順序）に関して極小なものが存在する
ことを主張するものです．この公理により，∈-列のループ（特に長さが 1 のループ x ∈ x）や， ∈ に関する無限下降列 x1 ∋ x2 ∋ x3 ∋ ・・・ が存在しないことなどが帰結されます．
基礎の公理は， 他の集合論の公理よりも遅れてスタンダードな公理系に組みいれられるようになったものです． そのせいか，数理論理学を専門としない人で，この公理には何か問題がある， と思っている方も少なくないようです．

他の集合論の公理が， 様々な集合の存在や， すでに存在している集合から新しい集合を構成するときの個々の構成原理の成立を主張しているのに対し， 基礎の公理は， 集合論の対象である一つ一つの集合に対し，(1) の性質を持たなければいけない， という制限を果している，と解釈することのできる公理になっています．

普通には基礎の公理を仮定した集合論が数学のベース理論として採用されているのは， 『数学を展開するための基礎としての集合論』， という立場からは， 基礎の公理を満たすような集合の全体の領域を出る必要がないことが， 判っている，と断言できるからです．
たとえば，自然数の全体 N や実数の全体 R, 実数から実数への関数の全体 …，などはすべて， このような基礎の公理を満たす領域の中で自然に構成できます (註 1)．

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/134

139: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/10(日) 07:44:43.52 ID:rk/29Zdt

>>138

＜超限帰納法＞
ブリタニカ：αで番号づけるために，選択公理 (→ツェルメロの公理 ) を使って整列集合をつくらなければならないが，超限帰納法を直接使わないで，選択公理またはそれと同値な補題を使って証明することのほうが多い。
世界大百科事典：これでよい理由は，Pλが正しくないようなλがあったとして，そのようなλ全体の集合をMとすれば，Λが整列集合という仮定により，Mに最小元αがある。するとμ＜αならばPμが正しいのだから，Pαも正しいはずで，α∈Mに反する。
＜数学的帰納法＞
ブリタニカ：自然数全体の集合を定義したペアノの公理系の第5公理を基礎に導かれる論法である。そこでペアノの第5公理を数学的帰納法の公理と呼ぶ。

https://kotobank.jp/word/%E8%B6%85%E9%99%90%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95-97776
コトバンク
(抜粋)
ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説
超限帰納法
transfinite induction
順序数αで番号づけられた命題 P(α)について，ξ＜αについて P (ξ) が成立すれば，P (ξ) を証明することによって P (α) を証明する方法。
自然数についての数学的帰納法を一般化したものである。
αで番号づけるために，選択公理 (→ツェルメロの公理 ) を使って整列集合をつくらなければならないが，超限帰納法を直接使わないで，選択公理またはそれと同値な補題を使って証明することのほうが多い。

世界大百科事典 第２版の解説
【超限帰納法 transfinite induction】
一般化された数学的帰納法の一種で，次のような証明法である。
”整列集合Λの各元λに命題Pλが対応しているとき，次のことが証明できれば，すべてのPλは正しい。
〈各λ∈Λに対して，μ＜λならばPμが正しいという仮定のもとで，Pλは正しい〉。”
これでよい理由は，Pλが正しくないようなλがあったとして，そのようなλ全体の集合をMとすれば，Λが整列集合という仮定により，Mに最小元αがある。
するとμ＜αならばPμが正しいのだから，Pαも正しいはずで，α∈Mに反する。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/139

143: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/10(日) 09:38:38.31 ID:rk/29Zdt

>>139 補足
>ブリタニカ：αで番号づけるために，選択公理 (→ツェルメロの公理 ) を使って整列集合をつくらなければならないが，超限帰納法を直接使わないで，選択公理またはそれと同値な補題を使って証明することのほうが多い。

このブリタニカ説明が、ちょっと意味不明
選択公理を前提にしていると、いろんな推論で、心配がないことは言えると思うが、
「選択公理 (→ツェルメロの公理 ) を使って整列集合をつくらなければならない」とか
「超限帰納法を直接使わないで，選択公理またはそれと同値な補題を使って証明することのほうが多い」とか
これだけだと、意味わからん（＾＾

http://cai3.cs.shinshu-u.ac.jp/Lecture/SetTheory3/settheory03/node16.html
整列可能定理
(抜粋)
以下の定理が知られています。
[ツェルメロの整列可能性定理] 　任意の集合E上に整列順序が存在する。
以下に証明を述べますが,

Xが有限集合か,自然数の集合Nとの間に双射が存在するなら整列順序を入れることは 難しくありません。

Nとの間に双射が存在しなくても,順序を定義する方法の,アイデアの一つは,次のようなものです。

まず,x ∈ Eを一つ取り出し,これを定義したい順序で,最初の要素とします。 次に E ＼{x}から要素y ∈ Xを取り出し,これをXの次の要素とします。さらに E ＼ {x,y}から要素z ∈ Xを取り出し,これをyの次の要素とします。無論はEは無限集合で,しかも,Nとの間に双射が定義されず,１番目,２番目,…,と要素の選択を「数学的帰納法」で定義できないかもしれません。

そこで,任意のE部分集合Y ⊆ Xに対して,
τ(Y) ∈ E ＼ Y
となるような写像τを作ります。このような写像は,Eのべき集合
B(E)={Y｜ Y ⊆ E}
を使って造られる集合の族,

この集合が空集合でないことは,

ですので選択公理によって保証されます。
τ(Y), Y ⊆ E, Y ≠ E
の直感的な意味は,Yの全ての要素により(順序Rについて)真に大きい要素で,しかもそのような要素の中では,一番小さい要素です。

です。 [ツェルメロの定理の証明終]

[補題]

[補題の証明]

に矛盾する。 [補題の証明終]

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/143

150: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/10(日) 11:08:35.27 ID:rk/29Zdt

>>149

つづき

４）
”As an example, consider the well-founded relation (N, S), where N is the set of all natural numbers, and S is the graph of the successor function x → x + 1.
Then induction on S is the usual mathematical induction, and recursion on S gives primitive recursion.
If we consider the order relation (N, <), we obtain complete induction, and course-of-values recursion.
The statement that (N, <) is well-founded is also known as the well-ordering principle.”
これ、普通の自然数に対する数学的帰納法な

５）
”The Mostowski collapse lemma implies that set membership is a universal among the extensional well-founded relations:
for any set-like well-founded relation R on a class X which is extensional, there exists a class C such that (X,R) is isomorphic to (C,∈).”
和訳
「モストウスキーの崩壊補題 (Mostowski collapse lemma) によれば、集合要素関係 (set membership) は普遍的な整礎関係である。
つまり、クラス X 上の集合的な整礎関係 R に対し、クラス C が存在して、(X, R) が (C, ∈) に同型となる。」
とある。なので、(X, R) → (C, ∈) なので、”∈を使った順序”というのは、結構普遍的（universal）

６）
Reflexivity
"For example, in the natural numbers with their usual order >=, we have 1 >= 1 >= 1 >= ・・・. "
ここで、「>=, we have 1 >= 1 >= 1 >= ・・・」の例を挙げているけど、”∈を使った順序”で、∋は >=では無く、>だよと定義するのが、正則性公理の意味の別の側面だろう

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/150

152: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/10(日) 11:10:57.56 ID:rk/29Zdt

>>151 これ失敗でボツな（＾＾；

貼り直し
>>150
つづき
（参考引用）
https://en.wikipedia.org/wiki/Well-founded_relation
(抜粋)
Well-founded relation
"Noetherian induction" redirects here. For the use in topology, see Noetherian topological space.

In mathematics, a binary relation, R, is called well-founded (or wellfounded) on a class X if every non-empty subset S ⊆ X has a minimal element with respect to R, that is an element m not related by sRm (for instance, "s is not smaller than m") for any s ∈ S. In other words, a relation is well founded if
(∀ S ⊆ X)[S ≠ Φ → (∃ m ∈ S)(∀ s ∈ S) ￢ (sRm)].
Some authors include an extra condition that R is set-like, i.e., that the elements less than any given element form a set.

Equivalently, assuming the axiom of dependent choice, a relation is well-founded if it contains no countable infinite descending chains: that is, there is no infinite sequence x0, x1, x2, ... of elements of X such that xn+1 R xn for every natural number n.[1][2]

In order theory, a partial order is called well-founded if the corresponding strict order is a well-founded relation. If the order is a total order then it is called a well-order.

In set theory, a set x is called a well-founded set if the set membership relation is well-founded on the transitive closure of x.
The axiom of regularity, which is one of the axioms of Zermelo?Fraenkel set theory, asserts that all sets are well-founded.

A relation R is converse well-founded, upwards well-founded or Noetherian on X, if

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/152

159: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/10(日) 12:51:17.94 ID:rk/29Zdt

>>139
>＜数学的帰納法＞
>ブリタニカ：自然数全体の集合を定義したペアノの公理系の第5公理を基礎に導かれる論法である。そこでペアノの第5公理を数学的帰納法の公理と呼ぶ。

(参考)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9A%E3%82%A2%E3%83%8E%E3%81%AE%E5%85%AC%E7%90%86
ペアノの公理
(抜粋)
一階述語論理で定式化されたペアノの公理は、無数の超準モデルを持つ。（レーヴェンハイム＝スコーレムの定理） 二階述語論理によって定式化することで、ペアノシステムを同型の違いを除いて一意に定めることができる[1]。
ラムダ計算はペアノの公理を満たす自然数の、異なる構成法を与える。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AE%97%E8%A1%93%E3%81%AE%E8%B6%85%E6%BA%96%E3%83%A2%E3%83%87%E3%83%AB
(抜粋)
算術の超準モデル (英: non-standard model of arithmetic) とは、（一階）ペアノ算術のモデルのうち、通常の自然数ではない要素（超準数）を含むようなモデルのことである。
それに対し、通常の自然数 N は算術の標準モデルと呼ばれる。ペアノ算術の任意のモデルは線形順序で並んでおり、 N と同型な切片を持つ。超準モデルは、その切片の外に元を持つようなモデルであると言える。

可算超準モデルの構造
超積モデルは非可算となることが知られている。このことを見る一つの仕方は N の無限直積から超積モデルへの単射を構成すればよい。
他方でレーヴェンハイム-スコーレムの定理により、可算な算術の超準モデルが存在しなければならない。
構成法の一つとしてヘンキン構成を用いた方法がある。

http://www2.kobe-u.ac.jp/~kikyo/LogicSummerSchool2011/
^ 坪井明人　数学基礎論サマースクール モデル理論入門
(引用終り)

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/159

172: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/10(日) 22:54:23.80 ID:rk/29Zdt

>>170

（追加参考）
http://repository.lib.tottori-u.ac.jp/ja/list/t-authors/%E3%82%BF/03528/item/1151
http://repository.lib.tottori-u.ac.jp/files/public/0/1151/20180622142427404027/tujfersrs0401_37.pdf
第二階論理によるペアノ算術 田畑 博敏 鳥取大学教育地域科学部 2002
(抜粋)
はじめに

よく知られているように，ペアノは自然数に関する公理系を作ることにより，その公理から算術の真理を定理として導こうとした。
その公理の中に数学的帰納法の原理が含まれている。
第一階の論理によるこの原理の定式化は，いわゆる公理図式によるもので，具体的な一階の(自由変項を含む)論理式を代入することにより無数の公理が得られる。
それゆえ数学的帰納法の公理は無数の論理式に対応する無数の公理を含むことになる。
しかし，論理式はせいぜい可算個しかないゆえに，論理式が表す自然数の性質もせいぜい可算無限価しかない。
他方，第二階論理によって定式化される数学的帰納法の公理は単一の公理であり，それは，「すべての自然数の性質(集合)」 に言及していると解釈され，非可算個の性質(集合)を量化の範囲に含んでいる。
さらに，第一階の論理によるペアノの公理系はコンパクト性定理により標準モデルとは同型でない非標準モデルが存在するのに対して，第二階のペアノの公理系はカテゴリカルである(すなわち，すべてのモデルが同型的である)。
このような相違は，なによりも定式化の基礎にある論理の相違に由来している。

そこで，本論文の梗概はつぎのようになる。
まず第l節では第二階ペアノ算術の公理系を提示して，そのモデルのいくつかを考え，非標準的モデルにも触れる。
第2節では，第二階論理によるペアノの公理系がカテゴリカルであることを示す。
それを受けて，第3節では，公理系の意図されたモデルを，互いに同型なペアノ・モデルの代表としてとり，ここで原始回帰(primitiv erecursion)という定義図式によって定義される自然数上の演算(加法・乗法・巾法)の存在を示す。
第4節では，数学的帰納法のモデルではあるが，他のペアノの公理のモデルとはかぎらないモデルと， (意図された)自然数のモデル上の合同関係との，つながりを論じる。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/172

194: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/12(火) 17:48:22.06 ID:L9877gai

>>189 補足
（再掲）
正則性 (Regularity)公理
Axiom of Regularity
∀ A
A ≠ Φ
　↓
∃ X ∈ A (X ∩ A = Φ)
(空でない集合は自分自身とまじわりの無い要素を１つは持つ)
(引用終り)

正則性公理に限りませんが
こういう対象は、”多面的・多重的・多層的に物事を見る”
ということを意識してやるべきですね

例えば、
１）正則性公理が、集合の出来方を規定して、無限降下列を禁止して、フォンノイマン宇宙を秩序づけているという視点もあれば
２）∈を使った順序で、∈に等号（=）を含ませず、極小元を保証しているものだという視点
３）あるいは、上記を公理命題として規定するときに、いかにすっきり記述するか（「公理命題」としての記述は、一切の不要なぜい肉を落として、使う用語や記号は極少にして、表現は簡潔に）という視点

１）は集合（あるいは宇宙）の出来方、２）は順序と極小元、３）は「公理命題」の記述のあり方
そういう複数の視点から、理解すべきであって
”∃ X ∈ A (X ∩ A = Φ)”という記号が読めたから、理解できたというものではないだろうと（＾＾；

https://hikari.atea.jp/archives/4721
アテアBLOG
2017.05.23
【多角的に見る】多面的・多重的・多層的に物事を見ること 大杉日香理
(抜粋)
どんなことでも慣れないうちは手際がおぼつきませんが、
やっていくうちに自分なりのやり方で捉えられるようになります
なによりも視点を複数持って物事を見るクセをつけること

https://hikari.atea.jp/wp-content/uploads/2017/03/img_58be31838fa8a.png

http://hikari.atea.jp/wp-content/uploads/2017/03/img_58be31a6570ec.png

http://hikari.atea.jp/wp-content/uploads/2017/03/img_58be31b7bfcfe.png
(引用終わり)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/194

198: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/12(火) 20:58:07.56 ID:uuICzLx2

>>196
C++ さん、どうも。スレ主です。
お元気そうで、なによりです

なにを集合として扱うのか？
これは、いろいろと時代の変遷があるみたいですよ

>私は集合と要素を別のものとして区分するのは反対です

無制限に、なんでも集合に取り入れると、まずいので公理化した
で、素朴集合論から、公理的集合論（主としてZFC）の時代になった
正則性公理による、集合の制限も、その一つでしょう

いまは、公理的集合論を乗り越えていこうという動きが大きくなっていると思います
その大きな動きの一つが、圏論でしょうね

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
集合論
(抜粋)

目次
1 素朴集合論と公理的集合論
2 集合論の歴史
3 数学にあたえた影響

数学にあたえた影響
集合論以前の数学は、数であるとか方程式であるとかあらかじめ与えられた数学的対象の性質を研究する、という性格が強いものだった。
集合論以降は問題にしている数学的な現象をよく反映するような「構造」を積極的に記号論理によって定義し、その構造を持つ集合について何がいえるかを調べる、という考え方が優勢になった。
とくに20世紀に入ってからの抽象代数学や位相空間論では様々な新しい数学的対象が集合の道具立てを用いて積極的に構成され、研究された。
このパラダイムはニコラ・ブルバキによる「数学原論」においてその頂点に達したと見なされている。

一方で、さまざまな数学の問題に対応した構造を理解するときには、個々の対象が具体的にどんな集合として定義されたかということよりも、類似の構造を持つほかの数学的対象との関係性の方がしばしば重要になる。
この関係性は対象間の写像のうちで「構造を保つ」ようなもの（しばしば準同型と呼ばれる）によって定式化される。このような考え方を扱うために圏論が発達した。
集合論の著しい特徴は集合間の写像たちまでが再び集合として実現できることだが、こういった性質を圏論的に定式化することで集合論の圏論化・幾何化ともいうべきトポスの概念がえられる。

http://fuchino.ddo.jp/kobe/jyohokiso-2013-history.pdf
公理的集合論 成立の歴史 渕野 昌
神戸大学大学院 システム情報
2013 年前期 情報基礎特論での講義

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/198

205: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/13(水) 07:22:57.89 ID:QlfKIGCF

>>198
>>私は集合と要素を別のものとして区分するのは反対です
>無制限に、なんでも集合に取り入れると、まずいので公理化した
>で、素朴集合論から、公理的集合論（主としてZFC）の時代になった

（>>58）
http://blacaman.tripod.com/cursos/pdf/2012-2_0941.pdf
An Introduction to Independence Proofs K KUNEN 著 First edition: 1980 Seventh impression: 1999

https://www.amazon.co.jp/dp/4535783829/ref=pd_lpo_sbs_14_t_1?_encoding=UTF8&psc=1&refRID=8NKTZE2Q63MR3BRQEWQX
集合論―独立性証明への案内 単行本 ? 2008/1/1
ケネス キューネン (著), Kenneth Kunen (原著), 藤田 博司 (翻訳)

下記が参考になるでしょう。
これの
P8
In the intended interpretation, under which the axioms of ZFC are presumed
true, x ∈ y is interpreted to mean that x is a member of y, but the
domain of discourse is somewhat harder to describe. In accordance with the
belief that set theory is the foundation of mathematics, we should be able
to capture all of mathematics by just talking about sets, so our variables
should not range over objects like cows and pigs. But if C is a cow, {C} is
a set, but not a legitimate mathematical object. More generally, since we
wish to talk only about sets but also should be able to talk about any element
of a set in our domain of discourse, all the elements of such a set should
be sets also.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/205

316: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/16(土) 09:52:59.90 ID:B5CZ4/Lr

>>205 補足（キューネン読んで）
（>>58）
http://blacaman.tripod.com/cursos/pdf/2012-2_0941.pdf
An Introduction to Independence Proofs K KUNEN 著 First edition: 1980 Seventh impression: 1999
https://www.amazon.co.jp/dp/4535783829/ref=pd_lpo_sbs_14_t_1?_encoding=UTF8&psc=1&refRID=8NKTZE2Q63MR3BRQEWQX
集合論―独立性証明への案内 単行本 ? 2008/1/1
ケネス キューネン (著), Kenneth Kunen (原著), 藤田 博司 (翻訳)

P100
§4. The Axiom of Foundation
AXIOM 2. Foundation.
∀x(∃y(y∈x)→∃y(y∈x ∧ ￢∃z(z∈x ∧ z∈y))).

Equivalently, if x ≠ 0, ∃y ∈ X (x ∩ y = 0), or every non-empty set has
an ∈-minimal element, or, if we extend the definition of well-founded to
proper classes (see §5), ∈ is well-founded on V.
(引用終り)

”if x ≠ 0, ∃y ∈ X (x ∩ y = 0)”について
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大学大学院情報科学研究科 システム情報科学専攻 尾畑研究室－システム情報数理学II研究室－
尾畑伸明：集合・写像・数の体系　数学リテラシーとして
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-3_shugo-enzan.pdf
第3章 集合の演算 GAIRON-book : 2018/6/21(19:23)
P34
x ∈ A ∩ B ←→ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) (3.2)
(引用終り)

なので
z∈x ∧ z∈y → z ∈ x ∩ y
￢∃z(z∈x ∧ z∈y) → z＝0 つまり x ∩ y = 0
よって
AXIOM 2. Foundation.
∀x(∃y(y∈x)→∃y(y∈x ∧ ￢∃z(z∈x ∧ z∈y))).
　↓
if x ≠ 0, ∃y ∈ X (x ∩ y = 0)
こっちの表現で記されているものが多い
多分、上の”AXIOM 2. Foundation”では、x,y,zと３つ出てくるが、こっちの表現だとx,yの２つで、よりシンプルってことだろうね
でも、x,y,zと３つ使う表現も、それはそれで意味あるんだろうね（キューネン先生が書いているんだから（＾＾ ）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/316

397: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/16(土) 20:33:01.61 ID:B5CZ4/Lr

>>316-318 <まとめ>
http://blacaman.tripod.com/cursos/pdf/2012-2_0941.pdf
An Introduction to Independence Proofs K KUNEN/キューネン First edition: 1980 Seventh impression: 1999 （藤田 博司 (翻訳)）
P100
§4. The Axiom of Foundation
AXIOM 2. Foundation.
∀x(∃y(y∈x)→∃y(y∈x ∧ ￢∃z(z∈x ∧ z∈y))).
Equivalently, if x ≠ 0, ∃y ∈ X (x ∩ y = 0),
（参考：x ∈ A ∩ B ←→ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) (3.2)、
　z∈x ∧ z∈y → z ∈ x ∩ y、
　￢∃z(z∈x ∧ z∈y) → z＝0 つまり x ∩ y = 0）
or every non-empty set has an ∈-minimal element,

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
正則性公理
(引用開始)
定義
空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ。
∀ A(A ≠ Φ → ∃ x ∈ A ∀t ∈ A(t not∈ x))
以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。
・任意の空でない集合xに対して、 ∃ y ∈ x,x∩y=0
・∀xについて、無限下降列である x ∋x_1 ∋x_2 ∋... は存在しない。

http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/
東北大学大学院情報科学研究科 システム情報科学専攻 尾畑伸明
http://www.math.is.tohoku.ac.jp/~obata/student/subject/file/2018-3_shugo-enzan.pdf
第3章 集合の演算 GAIRON-book : 2018/6/21(19:23)
P45
(S9) 基礎の公理 空でない集合 A には, すべての y ∈ A に対して y not∈ x を満たす x ∈ A が存在する.4)
∀A(A ≠ Φ → ∃x ∈ A∀y ∈ A(y not∈ x))
4)順序集合における用語を流用して, このような x を ∈ に関する A の極小元という.
(引用終り)

これ
「２）∈を使った順序で、∈に等号（=）を含ませず、極小元を保証しているものだという視点」(>>194)
　で、極端な表現として不等号＜を使って書く
・極小元を、x_minとする。∈を、等号（=）を含まない、不等号＜に書き換える
　すると
・∃x_min ＜ A ∀y ∈ A (y not＜ x_min) （尾畑）
　となる
・つまり、極小元x_min に対し、全てのy ∈ Aは "y not＜ x_min" だと
　こう書き換えると、当たり前ですね

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/397

508: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/17(日) 21:46:38.39 ID:gAStfvWk

”可測関数X: Ω→Ω’
・関数のことを確率変数と呼ぶ
　関数を出力と同一視（混同）する(X=X(w))
　関数がランダムなわけではない”

”P10 なぜこんな定義をするのか
（Ω, B, P)がわからずX だけ観測できる人には
Ｘがランダムである場合も含む定義になっている
そこで関数X(w) とその出力値X を同一視して
確率変数(random variable)と呼ぶことにした。
これで「ランダムでないとはいえないもの」が定義された”

確率変数と”変数”の違いが分らない人がいるな（＾＾；

（スレ61より https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1550409146/131 ）
131 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2019/02/20(水)
過去の確率変数論争（”確率変数は箱に入れられない”）に対し、下記の説明いいね！（＾＾
http://watanabe-www.math.dis.titech.ac.jp/users/swatanab/intro_prob_theory.pdf
確率論入門 渡辺澄夫 東工大 2018
(抜粋)
P8 確率変数
可測関数X: Ω→Ω’
を（Ω’に値をとる）確率変数という
・関数のことを確率変数と呼ぶ
　関数を出力と同一視（混同）する(X=X(w))
　関数がランダムなわけではない

P9 確率変数の気持ち
W
（Ω, B, P)
数学的に定義されるが
観測できないものとする
運（w)の決め方は
定めないでおく
　↓
Ｘ=X(w)
Xの値は 実世界で ランダムでない とはいえない

P10 なぜこんな定義をするのか
もともとランダムに値をとるということを数学的に
定義することができなくて困っていた
（Ω, B, P)がわからずX だけ観測できる人には
Ｘがランダムである場合も含む定義になっている
そこで関数X(w) とその出力値X を同一視して
確率変数(random variable)と呼ぶことにした。
これで「ランダムでないとはいえないもの」が定義されたがランダムとは何かについてはわからないままである
(引用終わり)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/508

515: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/18(月) 10:48:58.66 ID:h/GFuGit

（ご参考）ピエロ（＾＾
スレ58 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1547388554/628-629
(抜粋)
628 名前：１３２人目の素数さん 2019/01/23
まだ下らないこと考えてるのか　この狂犬はｗ

そもそも時枝記事の戦略知ってたら
全部の箱にπを入れたりしないがな

だって全部の列が予測可能になっちゃうじゃないか
少なくともどこか一つの箱にはπ以外の数を入れる

なんか狂犬は自分ではリコウなつもりなんだろうが
肝心なところがヌケサクだよな

630 名前：１３２人目の素数さん 2019/01/23
狂犬のしたこと

・プレイヤーだけが心得ていればいいことを
　ディーラーに知らせろだの、ましてや
　ディーラーに仕切らせろだの、わけわからん
　越権行為に出た

・しかもそのような越権行為があっても
　時枝記事の戦略の成功確率に変化がない
　ことをさも大事のように語った

まだスレ主の「確率変数ガー」のほうが全然マシ
（スレ主の指摘は、スレ主自身が時枝記事に当てはめて考えれば
　時枝記事がなぜ当たるかの明確な回答になってる点で有意義
　しかし、スレ主はなぜかこの行為をサボりつづけている）

スレ58 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1547388554/639
639 名前：１３２人目の素数さん 2019/01/23
＞正しい書き込みなんです
＞それにも関わらず、
＞あなたは執拗に批判してきました

狂犬は「批判」といってるが全くの誤り

私は「ナンセンス」だといってるのである
「自明な正しさ」なんてまさに「ナンセンス」の極致
そんな話を長々と数学板でするんじゃねえ
というのはまさに当然のことｗ

＞「君子豹変」

ええ、イヌにはできないことを人間様としてやって差し上げました
そもそもディーラーを持ち出すことに違和感があったのですが
それは「プレイヤーが勝手にやってることをディーラーが知る」
という点にあったと気づいたので、それを明確にしました

あなたは「全部の箱にπを入れる」ことにまだ固執してるようですが
それはあなたが「固定」の意味を誤解したままそれすら認めないから
でしょう　あなたは君子ではない　人ですらない　イヌコロですｗ
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/515

579: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/20(水) 17:08:06.02 ID:B/cIGt6F

>>548 追加
エクセルで簡単な、数値計算をやってみた（＾＾
オイラーγ計算
およそγ＝～ 0.57721 ＝～Σ1/n- ln(n)

n Σ1/n 　　ln(n) 　　γ=Σ1/n-ln(n) 　　小数部[Σ1/n] 　　小数部[ln(n)] 　　小数差[Σ1/n]-[ln(n)]　　 γ=差補正[1-[Σ1/n]-[ln(n)]]
1 1 0 1 0 0 0 0
2 1.5 0.693147181 0.806852819 0.5 0.693147181 -0.193147181 0.806852819
3 1.833333333 1.098612289 0.734721045 0.833333333 0.098612289 0.734721045 0.734721045
4 2.083333333 1.386294361 0.697038972 0.083333333 0.386294361 -0.302961028 0.697038972
5 2.283333333 1.609437912 0.673895421 0.283333333 0.609437912 -0.326104579 0.673895421

7 2.592857143 1.945910149 0.646946994 0.592857143 0.945910149 -0.353053006 0.646946994
8 2.717857143 2.079441542 0.638415601 0.717857143 0.079441542 0.638415601 0.638415601
9 2.828968254 2.197224577 0.631743677 0.828968254 0.197224577 0.631743677 0.631743677
10 2.928968254 2.302585093 0.626383161 0.928968254 0.302585093 0.626383161 0.626383161

12 3.103210678 2.48490665 0.618304028 0.103210678 0.48490665 -0.381695972 0.618304028
13 3.180133755 2.564949357 0.615184398 0.180133755 0.564949357 -0.384815602 0.615184398
14 3.251562327 2.63905733 0.612504997 0.251562327 0.63905733 -0.387495003 0.612504997
15 3.318228993 2.708050201 0.610178792 0.318228993 0.708050201 -0.389821208 0.610178792

17 3.439552523 2.833213344 0.606339179 0.439552523 0.833213344 -0.393660821 0.606339179
18 3.495108078 2.890371758 0.60473632 0.495108078 0.890371758 -0.39526368 0.60473632
19 3.547739657 2.944438979 0.603300678 0.547739657 0.944438979 -0.396699322 0.603300678
20 3.597739657 2.995732274 0.602007384 0.597739657 0.995732274 -0.397992616 0.602007384

25 3.815958178 3.218875825 0.597082353 0.815958178 0.218875825 0.597082353 0.597082353
つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/579

617: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/21(木) 09:35:21.35 ID:L2G86nzK

>>583 補足
”The most well known one is:
Conjecture 1.0.1. Euler’s constant is irrational.”やで（＾＾
γ有理数予想は、検索しても無かったよ（＾＾；
γ有理数の証明、絶対間違っていると思うよ

（参考）
スレ58 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1547388554/730
730 名前：現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 投稿日：2019/01/24(木) 21:21:55.52 ID:HmyDNHis [12/17]
http://www.ams.org/journals/bull/2013-50-04/S0273-0979-2013-01423-X/
AMS
Euler's constant: Euler's work and modern developments
Author: Jeffrey C. Lagarias
Journal: Bull. Amer. Math. Soc. 50 (2013), 527-628
MSC (2010): Primary 11J02; Secondary 01A50, 11J72, 11J81, 11M06
http://www.ams.org/journals/bull/2013-50-04/S0273-0979-2013-01423-X/S0273-0979-2013-01423-X.pdf
(抜粋)
Abstract. This paper has two parts. The first part surveys Euler’s work
on the constant γ = 0.57721 ・ ・ ・ bearing his name, together with some of his
related work on the gamma function, values of the zeta function, and divergent
series. The second part describes various mathematical developments
involving Euler’s constant, as well as another constant, the Euler?Gompertz
constant. These developments include connections with arithmetic functions
and the Riemann hypothesis, and with sieve methods, random permutations,
and random matrix products. It also includes recent results on Diophantine
approximation and transcendence related to Euler’s constant.

There are many famous unsolved problems about the nature of this constant.
The most well known one is:
Conjecture 1.0.1. Euler’s constant is irrational.
This is a long-standing open problem. A recent and stronger version of it is the following.
Conjecture 1.0.2. Euler’s constant is not a Kontsevich?Zagier period.
つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/617

687: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/22(金) 11:11:04.12 ID:WSdp8+VY

>>679-684
おっちゃん、どうも、スレ主です。
R大 ”背理法被害者の会”の被害者かね？（＾＾
直観主義論理の抜粋は、下記だが

”背理法被害者の会”の主張は、直観主義論理の記述（下記）
「直観主義論理は実際的な有用性を持つ。何故ならばこの制限によって存在具体性を持つ証明が作られるからであり、これは直観主義論理が数学的構成主義のある形態として適当なものとする。非正式には、ある対象が存在することの構成的証明があれば、その構成的証明はそのような対象の例を生成するアルゴリズムとして使える、ということを意味する。」
と類似しているね

だけど、「背理法を使わない意味と直観主義論理との関係」がしっかり論じられていないみたいだから、
”背理法被害者の会”の被害者が量産されている印象がある。外しているかも知れないがね（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%9B%B4%E8%A6%B3%E4%B8%BB%E7%BE%A9%E8%AB%96%E7%90%86
直観主義論理

直観主義論理または直観論理（英: intuitionistic logic）、あるいは構成的論理（英: constructive logic）とは、ある種の論理体系であり、伝統的な真理値の概念が構成的証明の概念に置き換わっている点で古典論理とは異なる。

直観主義論理では確定的に論理式に真理値を割り当てるのではなく、それが真であるとは「直接的なエビデンス」つまり「証明」があることと見做す。

証明論的な視点から見ると、直観主義論理は古典論理の制限であって排中律や二重否定除去が公理として許容されないものである。排中律や二重否定除去はいくつかの論理式に対しては個別に証明できることがあるけれども、古典論理のように普遍的に成立することはない。

直観主義論理は実際的な有用性を持つ。何故ならばこの制限によって存在具体性を持つ証明が作られるからであり、これは直観主義論理が数学的構成主義のある形態として適当なものとする。非正式には、ある対象が存在することの構成的証明があれば、その構成的証明はそのような対象の例を生成するアルゴリズムとして使える、ということを意味する。

形式化された直観主義論理はアレン・ハイティングによってヤン・ブラウワーの直観主義プログラムの形式的な基礎として発展せられたものである。

つづき

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/687

696: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/22(金) 14:20:17.81 ID:WSdp8+VY

>>626
https://en.wikipedia.org/wiki/Euler%E2%80%93Mascheroni_constant
Euler-Mascheroni constant
Series expansions
In general,
γ＝lim(n→∞)1+1/2+1/3+…+1/n-log(n+α)≡lim(n→∞)γn(α)
for any α > －n .
However, the rate of convergence of this expansion depends significantly on α .
In particular, γn(1/2) exhibits much more rapid convergence than the conventional expansion γn(0).[7][8]
This is because
1/{2(n+1)} < γn(0) - γ < 1/(2n)
while
1/{24(n+1)^2} < γn(1/2) < 1/{24(n)^2}
Even so, there exist other series expansions which converge more rapidly than this; some of these are discussed below.
(引用終わり)

γn(1/2)をやってみた（＾＾
オイラーγ およそ0.57721566490

n Σ1/n ln(n+1/2) Σ1/n-ln(n+1/2) [Σ1/n] [ln(n+1/2)] [Σ1/n]-[ln(n++1/2)] [1-[Σ1/n]-[ln(n++1/2)]]
1 1 0.405465108 0.594534892 0 -0.594534892 0.594534892 0.594534892
2 1.5 0.916290732 0.583709268 0.5 0.916290732 -0.416290732 0.583709268
3 1.833333333 1.252762968 0.580570365 0.833333333 0.252762968 0.580570365 0.580570365

10 2.928968254 2.351375257 0.577592997 0.928968254 0.351375257 0.577592997 0.577592997

20 3.597739657 3.020424886 0.577314771 0.597739657 0.020424886 0.577314771 0.577314771

25 3.815958178 3.238678452 0.577279726 0.815958178 0.238678452 0.577279726 0.577279726

1000 7.485470861 6.908255154 0.577215707 0.485470861 0.908255154 -0.422784293 0.577215707

5000 9.094508853 8.517293186 0.577215667 0.094508853 0.517293186 -0.422784333 0.577215667

8000 9.564474984 8.987259319 0.577215666 0.564474984 0.987259319 -0.422784334 0.577215666

9000 9.682251076 9.10503541 0.577215665 0.682251076 0.10503541 0.577215665 0.577215665

10000 9.787606036 9.210390371 0.577215665 0.787606036 0.210390371 0.577215665 0.577215665

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/696

710: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/22(金) 21:16:17.14 ID:svnlwBS6

>>709
>Author: Jeffrey C. Lagarias

うん？
この人か～ぁ！（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%AA%BF%E5%92%8C%E6%95%B0_(%E7%99%BA%E6%95%A3%E5%88%97)
調和数 (発散列)
（Hnは調和数）
応用
2002年にジェフリー・ラガリアス（英語版）は、リーマン予想が「不等式
σ (n)<= Hn+ln(Hn)e^Hn
が任意の自然数 n に対して成立し、かつ n > 1 のときは真の（等号無しの）不等式として成立する」という主張に等価であることを示した。ここで σ(n) は n の約数和である。

https://en.wikipedia.org/wiki/Jeffrey_Lagarias
Jeffrey Clark Lagarias (born November 16, 1949 in Pittsburgh, Pennsylvania, United States) is a mathematician and professor at the University of Michigan.
Lagarias discovered an elementary problem that is equivalent to the Riemann hypothesis, namely whether for all n > 0, we have
σ (n)<= Hn+e^Hn ln Hn
with equality only when n = 1. Here Hn is the nth harmonic number, the sum of the reciprocals of the first n} n positive integers, and σ(n) is the divisor function, the sum of the positive divisors of n.[3]
References
3^ arXiv:math/0008177 https://en.wikipedia.org/wiki/ArXiv Journal reference:"An Elementary Problem Equivalent to the Riemann Hypothesis". Amer. Math. Monthly. 109 (6): 534?543.

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/710

751: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/23(土) 11:33:25.79 ID:ZJxlATSv

>>749
かの有名なフェルマーの最終定理のワイルズ先生
”発表したのに、自分では見つからなかった致命的なミスが見つかってしまうのは避けたかった。
「誰かのチェックを受けるとき来た」ワイルズは決意した”
そして、同僚であるプリンストン大学の教授、ニック・カッツに頼んだのだった
おっちゃんも、同じだよ
”「誰かのチェックを受けるとき来た」”
https://noji.wpblog.jp/2016/06/22/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86%E3%80%80350%E5%B9%B4%E8%B6%8A%E3%81%97%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6%E3%83%89%E3%83%A9%E3%83%9E%E3%80%8033/
フェルマーの最終定理　350年越しの数学ドラマ　3/3 ODD CODES 2016年6月22日
(抜粋)
発表したのに、自分では見つからなかった致命的なミスが見つかってしまうのは避けたかった。
「誰かのチェックを受けるとき来た」
ワイルズは決意した。

研究を話せる人間の条件は二つ。

一つは、研究を共有する価値がある、つまりワイルズが特に不安と感じていたコリヴァギン＝フラッハ法周辺の数論に精通している専門家であること。
もう一つは、研究を共有しても安全な、要するに口の堅い人物であることだ。

白羽の矢が立ったのは、同僚であるプリンストン大学の教授、ニック・カッツであった。

カッツを中に招き入れたワイルズは部屋の扉をそっと閉めてから、ぎりぎり聞こえる大きさで話し始めたという。
「フェルマーを証明できそうなんだ」
当然、カッツは度肝を抜かれた。

カッツは快諾したが、二つほど問題があった。
一つはワイルズの証明があまりにも長く難解なものであったので、検証にはまとまった時間が必要であったこと。
もう一つが、大学の研究室で二人集まって研究をしていては周囲の好奇を引き寄せてしまうこと。

がて、二人は大胆な方法を考え付く。大学の授業として研究するのだ。
それからしばらくして、ワイルズは大学で授業を開いた。

やがて授業が開催されたはいいが、受講する生徒は一人、また一人と減っていき、とうとう最後の一人となってしまう。カッツだ。
そして予定していた授業を終えた後、カッツはワイルズへOKサインを出した。
つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/751

784: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/23(土) 18:36:11.88 ID:ZJxlATSv

>>783

物理や確率過程論で、Uhlenbeck（男性）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A7%E3%83%BC%E3%82%B8%E3%83%BB%E3%82%A6%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%83%E3%82%AF
ジョージ・ウーレンベック（George Eugene Uhlenbeck、1900年12月6日 - 1988年10月31日）はアメリカ合衆国に移住したオランダの物理学者である。電子のスピンの発見者とされる。

ウーレンベックとゴーズミットは、電子が自転しながら原子核のまわりを回っていると仮定して、この自転運動にスピンと言う名前をつけた。相対性理論に矛盾するモデルであったが、エーレンフェストが彼らが「充分若いのでバカなことをしても許される」として論文を投稿したというエピソードは有名である。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%83%AB%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%EF%BC%9D%E3%82%A6%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%99%E3%83%83%E3%82%AF%E9%81%8E%E7%A8%8B
オルンシュタイン＝ウーレンベック過程（-かてい、英: Ornstein?Uhlenbeck process）は、レナード・オルンシュタインとジョージ・ウーレンベックの名にちなんだ確率過程である。平均回帰過程（へいきんかいきかてい）とも呼ばれる。

一般化
オルンシュタイン＝ウーレンベック過程は、背後過程を（ウィーナー過程より一般的な）レヴィ過程とした拡張が可能である。このような確率過程については、オーレ・バーンドルフ＝ニールセンらによって研究されている。
正確にはgeneralised Ornstein-Uhlenbeck過程と呼ばれるが、その由来は形が似ているだけでなく、generalised Langevin方程式（generalised　Black-Scholes方程式＜ブラック・ショールズのレヴィ過程版＞とLangevin方程式のレヴィ過程版を合体させたもの）の解になるのではないかと推理されていた。しかし、近年、それらが解の関係にはならないことが証明されている。
その証明の際には、generalised Langevin方程式の解が与えられ、YORの本によればセミマルチンゲールの場合に一般化された解も与えられている。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/784

787: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/23(土) 19:48:37.75 ID:ZJxlATSv

>>784
スピン
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%83%94%E3%83%B3%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F
スピン角運動量
(抜粋)
スピン角運動量（スピンかくうんどうりょう、英: spin angular momentum）は、量子力学上の概念で、粒子が持つ固有の角運動量である。単にスピンとも呼ばれる。

「スピン」という名称はこの概念が粒子の「自転」のようなものだと捉えられたという歴史的理由によるものであるが、現在ではこのような解釈は正しいとは考えられていない。なぜなら、スピンは古典極限 ?→0において消滅する為、スピンの概念に対し、「自転」をはじめとした古典的な解釈を付け加えるのは全くの無意味だからである[1]:p196。

スピン量子数が半整数 1/2, 3/2, … になる粒子をフェルミオン、整数 0, 1, 2, … になる粒子をボゾンといい、両者の物理的性質は大きく異る(詳細はそれぞれの項目を参照)。2016年現在知られている範囲において、

・フェルミオンである素粒子のスピン量子数は全て 1/2 である
・ボゾンである素粒子はヒッグス粒子のみスピン量子数が 0 であり、それ以外のボゾン素粒子のスピン量子数は 1 である。
・複合粒子のスピン量子数はそれ以外の値も取りうるが、単純に複合粒子を構成する素粒子のスピン量子数の合計値になるわけではない。例えばヘリウム原子のスピン量子数は 0 であるが、これを構成する素粒子である電子やクォークはいずれもフェルミオンであり、したがってそのスピン量子数は半整数である。

非相対論的な量子力学において、スピン角運動量はそれ以外のオブザーバブルとは大きく異る振る舞いをする為、スピン角運動量を記述するためだけに理論の修正を迫られる。それに対し相対論的量子力学では、例えばディラック方程式の定義それ自身にスピンの概念が織り込まれているなど、より自然な形でスピンが定式化される。

本稿では以下、特に断りがない限り非相対論な量子力学に対するスピンの概念について述べる。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/787

856: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/25(月) 20:57:51.83 ID:whxE2Y+u

>>854
まあ、新人ROMさんには、経緯が分らないだろうから、説明すると
Hart氏のPDFは、下記でわずか２ページで、game2はP2の後半に出てくる（下記の通り）
（なお、時枝記事は>>21ご参照）
スレ61 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1550409146/64
(抜粋)
時枝と選択公理の関係で、Sergiu Hart氏のPDFに下記がありましたね（＾＾
これを認めるなら、選択公理なしで、時枝類似の数当ては成立つ

この議論は、過去なんども同じ経緯を辿って
あげく、Sergiu Hart氏のgame2: を指摘すると、しっぽを撒いて逃げ行く

その繰り返しです（＾＾

スレ44 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1506848694/463 より
Sergiu Hart氏のPDF http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf

Sergiu Hart氏は、ここに
A similar result, but now without using the Axiom of Choice.^2
Consider the following two-person game game2:
^2 Due to Phil Reny.（＝Phil Reny氏より）

として、”without using the Axiom of Choice” ”game2”を提案しているよ
(引用終り)

因みに、game1 は、その前のページで、２箇所に出てくる
Consider the following two-person game game1:
Theorem 1 For every ε > 0 Player 2 has a mixed strategy in game1 guaran-
teeing him a win with probability at least 1 － ε.
Remark. The proof uses the Axiom of Choice.

Apply the Axiom of Choice to choose an element in each
equivalence class; let F(x) denote the chosen element in the equivalence class
of x (thus F : X → X satisfies x ～ x' iff F(x) = F(x')).
(引用終り)

なお、このPDFの表題が、”Choice Games”となっているのは、”The proof uses the Axiom of Choice”に由来しているのだろう

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/856

868: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/26(火) 08:02:31.64 ID:4i9G7Ghx

>>865 補足

私スレ主が、「なにを理解できているか」を証明するには、”このスレの余白は狭すぎる！” （by Fermat）
まあ、理解できていないのかも知れないね（＾＾

でもそれで良いじゃないｗ（＾＾
他の人が理解できるように、コピペは出来ていれば！（＾＾
そして、サイコパスピエロが理解出来ていないことが示せればねｗ

game1 (using the Axiom of Choice )
Theorem 1 For every ε > 0 Player 2 has a mixed strategy in game1 guaranteeing him a win with probability at least 1 － ε.
Remark. The proof uses the Axiom of Choice.

game2 (without using the Axiom of Choice )
Theorem 2 For every ε > 0 Player 2 has a mixed strategy in game2 guaranteeing him a win with probability at least 1 － ε.
Proof. ”The proof is the same as for Theorem 1, except that here we do not use the Axiom of Choice."

上記コピペで、game1 とgame2において、Theorem 1＝Theorem 2であること
及び、game1 とgame2との違いは、(using the Axiom of Choice )と(without using the Axiom of Choice )だということを示せればねｗ
そして、サイコパスピエロが理解出来ていないことが示せればね！！ｗ（＾＾

＜参考再掲＞
Sergiu Hart氏のPDF http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf

＜参考＞
https://dic.pixiv.net/a/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%BC%E3%81%AE%E6%9C%80%E7%B5%82%E5%AE%9A%E7%90%86
フェルマーの最終定理 とは【ピクシブ百科事典】
(抜粋)
「私は真に驚くべき証明を見つけたが、この余白はそれを書くには狭すぎる。」 - ピエール・ド・フェルマー
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/868

870: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/26(火) 14:02:42.25 ID:y+p5Vm48

>>868 補足

おっさんが、わめいていた ｗ（＾＾
（サイコパス発言 参考引用）
スレ33 https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1495860664/575
575 返信：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2017/06/03(土) 02:30:44.36 ID:YbwQeVvS [1/32]
(抜粋)
残念だけど選択公理を使って
無限列から決定番号への非可測関数を構築すれば
「箱入り無数目」解法による予測は避けられないよ

逆に
「X1，X2，X3，・・・がまるまる無限族として独立なら絶対に当てられない」
と言い切るなら、必然的に
「実数の全ての集合はルベーグ可測であり選択公理は成立しない」
といわざるを得なくなる
(引用終り)

ここで、仮に、game2 (without using the Axiom of Choice )が正しいとしよう
・game2＋the Axiom of Choice →game1
・対偶をとると、否定（game1）→ 否定（game2＋the Axiom of Choice）＝ 否定（game2) or 否定(the Axiom of Choice）
・なので、game2なら、否定(the Axiom of Choice）で「選択公理は成立しない」と言いたいかも知れないが、これは数学的には正しくない
　公理なので、「選択公理を採用しなければ・・」が正しい数学的な表現だ
・かつ、選択公理の代わりとなる公理、仮に例えば決定性公理などで代用できるなら、
　否定（選択公理 or 決定性公理）＝”（フルパワーの）選択公理及び決定性公理の「どれも」採用しなければ”
　という表現が数学的には正しい （選択公理以外の可能性が未検証だ）
・なお、同値類と代表は、実際には最小限度列の数だけあれば良い。
　例えば、簡単に２列とすれば、１列目を全部開け、その数列についてのみ、同値類と代表を作れば良い
　（客観性を担保するために、第三者にそれをやらせることもできる）
　１列目の決定番号 Dが分かるので、D+1から先の箱を開けて、同じように同値類と代表を作れば良い（時枝は実行可能）
　これによれば、同値類と代表の数は有限個でよい。よって、代表の数が非可算無限か可算無限かは、問題にならない

（なお、実際にはgame2 (without using the Axiom of Choice )が、正しいとは言えないのだった（＾＾； ）

以上、”おっさん大外しの巻～！”でしたｗ（＾＾

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/870

915: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/27(水) 11:31:36.45 ID:sC+mM8jf

>>914
（>>868より）
Sergiu Hart氏のPDF http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf
このP2に
Remark. When the number of boxes is finite Player 1 can guarantee a win
with probability 1 in game1, and with probability 9/10 in game2, by choosing
the xi independently and uniformly on [0, 1] and {0, 1, ・・・, 9}, respectively.
とある
ここで”independently and uniformly”が、独立同分布（IID)を含意することは、知る人がみればすぐ分かること
で、例えば、{0, 1, ・・・, 9}ならば、的中確率は、1/10(for Player 2)(つまり、出題者Player 1は、確率9/10で勝てる)
つまり、独立同分布（IID)を仮定すれば、どの箱も同じで、例外はない
なお、Sergiu Hart氏 は、時枝先生よりも良く分かっているみたい

game1（選択公理を使う）→game2（選択公理を使わない）→boxes is finite （有限の場合は通常確率論通り）
と並べて説明している
まあ、落語の落ちですね。最後”boxes is finite （有限の場合は通常確率論通り）”ですから

本気で”通常確率論外し”が成立していることを、読者に説明するなら
boxes is finite （有限の場合は通常確率論通り）→しかしgame2（通常確率論外し（選択公理を使わない））→game1（通常確率論外し（選択公理を使う）
の並びでしょうからね（＾＾；

ま、確率過程論の知識がある人（落ちこぼれ以外の数学科卒生）なら、独立同分布（IID)で、箱が有限及び無限とも同じ結論になる（通常確率論通り）は自明だし
それは、確率過程論について、上記（>>912）重川先生とか逆瀬川先生（下記）を読めば分かる。読めなければ、時枝不成立は分からないでしょうね～（＾＾
しかし、このスレで私が確率過程論をするわけにはいかない。このスレの余白は狭すぎるｗ（＾＾
http://www.f.waseda.jp/sakas/stochastics/stochastics.pdf/aspText.pdf
「確率過程とその応用」管理人　逆瀬川浩孝 早稲田大学

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/915

949: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/28(木) 07:31:55.79 ID:7L3ElMut

>>930
>有理数の各点が同じ重みを持つように
>測度を設定することができないのは
>数学学んだ人全員の常識だから

間違っているが、たまに良いことをいうね
・ヴィタリ集合の意味する非可測は、0と∞を含む「いかなる値も λ(V) の値として定義してはいけない」ということ
・一方「可算集合のルベーグ測度が0であることの証明」（下記）にあるように、”有理数の各点のルベーグ測度は0”である
・時枝記事の無限次元R^N空間は、このままでは例えば”ヒルベルト空間”ではなく、計量が入らない
　時枝記事では、ヴィタリ集合うんぬんを書いているが、もともと無限次元R^N空間に計量が入っていないから、ミスリードだな
　（実数Rに計量が入っているヴィタリ集合の非可測とは、事情が全く異なる）

ご苦労さまでした（＾＾；

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%BF%E3%83%AA%E9%9B%86%E5%90%88
ヴィタリ集合
(抜粋)
数学において、ヴィタリ集合（ヴィタリしゅうごう）とはジュゼッペ・ヴィタリ（英語版）(Giuseppe Vitali (1905))によって作られたルベーグ不可測な実数集合の基本的な例である。
ヴィタリの定理はそのような集合が存在することを保証する存在定理である。不可算に多くのヴィタリ集合が存在し、それらの存在は選択公理の仮定の下で示される。

ルベーグ測度は平行移動について不変なので λ (V_{k})=λ (V) である。ゆえに、
1 <= Σk=0～∞{λ (V)} <= 3
であるが、これは不可能である。
一つの定数の無限和は 0 であるか無限大に発散するので、いずれにせよ [1, 3] の中には入らない。
すなわち V は可測であってはいけない。
つまりルベーグ測度 λ はいかなる値も λ(V) の値として定義してはいけない。

http://chemicallogical.hatenablog.com/entry/2017/10/09/194528
インフラSE日記
2017-10-09
可算集合のルベーグ測度が0であることの証明
(抜粋)
コルモゴロフが構築した現代確率論を学習するときに、測度論は避けて通ることはできません。そこで、今回は基礎的な定理である「可算集合のルベーグ測度は0である」ということを証明しようと思います。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/949

955: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/28(木) 21:24:02.18 ID:7L3ElMut

>>949
>http://chemicallogical.hatenablog.com/entry/2017/10/09/194528
>可算集合のルベーグ測度が0であることの証明
>コルモゴロフが構築した現代確率論を学習するときに、測度論は避けて通ることはできません

ついでに

（>>915より）
Sergiu Hart氏のPDF http://www.ma.huji.ac.il/hart/puzzle/choice.pdf
P2
Remark. When the number of boxes is finite Player 1 can guarantee a win
with probability 1 in game1, and with probability 9/10 in game2, by choosing
the xi independently and uniformly on [0, 1] and {0, 1, ・・・, 9}, respectively.
”independently and uniformly”が、独立同分布（IID)を含意

区間[0, 1]から、∀iで、任意の実数 xiを選べば、「ルベーグ測度は0」だから、的中確率も0だ
独立同分布（IID)で、”箱”つまり”i”の範囲は、有限あるいは無限どちらも無関係だ
よって、唯一の分布を考えれば良い。そして、繰返すが、区間[0, 1]から、任意の実を選べば、「ルベーグ測度は0」だから、的中確率も0だ
（時枝記事は、区間[0, 1]→R全体だから、さらに的中は難しい）

さて、∀i xi で確率0が、スタート地点になる！（最初はgoo!でなく、最初は確率0だ）
時枝記事で、最初の１列の無限個の箱∀i xi で確率0
が、時枝記事の並べ変えを行うと、∃i xi で確率99/100になるという

”確率0”は、大学で学ぶ現代確率論（確率過程論）よりの結論
一方”∃i xi で確率99/100”は、数学セミナーの時枝記事よりの結論
∃i xiの箱は、二つの異なる確率0と99/100と、二つの値を取ることになる（矛盾）
かつ
∃i xiの”i”については、そのときの決定番号との関係で、可能性としては、1～∞の値を取り得る
すると、1～∞の値のどの”i”についても、二つの異なる確率 0と99/100と、二つの値を取ることになる（さらに矛盾）

「1～100 のいずれかをランダムに選ぶ」とか、なに言ってるの？
大学で現代確率論を学べば、最初はgoo!ならぬ、”「ルベーグ測度は0」だから、的中確率も0”でしょ？ｗ（＾＾

大学の確率論・確率過程論が理解できない輩（やから）は、度しがたいね
まあ、確率変数の定義、確率変数の族が確率過程論の用語だと分らないようじゃねｗ（＾＾

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/955

967: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/03/29(金) 07:14:55.98 ID:C5XCq4tE

>>955
>独立同分布（IID)で、”箱”つまり”i”の範囲は、有限あるいは無限どちらも無関係だ
>よって、唯一の分布を考えれば良い。そして、繰返すが、区間[0, 1]から、任意の実を選べば、「ルベーグ測度は0」だから、的中確率も0だ

唯一(ただ一つ)の分布を考えれば良い
独立同分布（IID)は、仮定つまり与件です。これは覆せない！（＾＾
まあ、”独立同分布（IID)”が、ピンと来ていないんだろうね。それは、大学教程の確率論・確率過程論を学べば分るが、”落ちこぼれ”には理解できないんだろうね
早く、>>31を実行してねｗ（＾＾

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%8B%AC%E7%AB%8B%E5%90%8C%E5%88%86%E5%B8%83
(抜粋)
独立同分布（どくりつどうぶんぷ、英: independent and identically distributed; IID, i.i.d., iid）や独立同一分布（どくりつどういつぶんぷ）とは、確率論と統計学において、確率変数の列やその他の系が、それぞれの確率変数が他の確率変数と同じ確率分布を持ち、かつ、それぞれ互いに独立している場合をいう[1]。

ホワイトノイズ
ホワイトノイズは、IIDの単純な例である。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9B%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%83%88%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%82%BA
ホワイトノイズ
(抜粋)
よく聞くノイズの例で擬音語で表現するなら、「ザー」という音に聞こえる雑音がピンクノイズで、「シャー」と聞こえる音がホワイトノイズである。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9B%E3%83%AF%E3%82%A4%E3%83%88%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%82%BA#/media/File:White_noise.png
ホワイトノイズの例

カラードノイズ
(有色雑音)
ホワイト
ピンク
ブラウニアン/レッド
グレイノイズ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1551963737/967

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