現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む45

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372: 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む [sage] 2017/11/04(土) 09:51:01.63 ID:sjIJjomh

>>371 つづき

で、本題（＾＾
＜おちこぼれ達のための補習講座10＞
１．＜おちこぼれ達のための補習講座9＞にあるように、可算無限数列のしっぽによる同値類〜と代表との関係は、形式的冪級数環を、ある一つの形式的冪級数を代表として、そのしっぽ(指数の高い項の一致で)の同値類〜を考えることに同じ。

２．同じ同値類の形式的冪級数二つ
(第m+1項からしっぽが一致するとして)
f =a0+a1*X+a2*X^2+a3*X^3+・・・+am*X^m+ am+1*X^m+1 +・・・
f'=a'0+a'1*X+a'2*X^2+a'3*X^3+・・・+a'm*X^m+ am+1*X^m+1 +・・・

f-f'= (注：多項式になる)
(a0-a'0)+(a1-a'1)*X+(a2-a'2)*X^2+(a3-a'3)*X^3+・・・+(am-a'm)*X^m+ 0*X^m+1 +0*X^m+2 +・・・

なので、f-f'＝ΔP(X) とおくと
f'＝f−ΔP(X) と表わすことができる

３．fを出題された数列に対応する形式的冪級数、f'を代表に対応する形式的冪級数とすると、決定番号dは d＝m＋1 つまり、多項式ΔP(X)の次数m プラス1になる
４．素人衆が間違っているのは、各列の決定番号 d＝m＋1を直接選べるように勘違いしているところだよ。選べるのは、多項式ΔP(X)
５．多項式ΔP(X)を選ぶ場合、例えば任意の２次多項式を選ぶことは、（係数が３つなので）３次元空間の１点を選ぶが如し。
　　つまり、任意の３次元空間の１点（a0,a1.a2）を選んだとき、確率１でa2≠0 であり、２次式が１次や０次に退化することはない（１次や０次は零集合）
６．同様に、m次の場合、m+1次元空間の１点を選ぶが如しで、確率１で、より低次元に退化することはない
７．さて、上記より、多項式環において多項式の次数の上限はないから、ある常数Dに対して、多項式環から選んだ100個の多項式の次数、d1,d2,・・・d100 がいずれもD以下になる確率は０

QED
（これは、”無限”が分っていないと、理解できないだろうな。思うに、プロの目から見れば、ここらがネックで、真っ当な数学と認められないのではと思う今日この頃（＾＾ ）

以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1508931882/372

376: 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む [sage] 2017/11/04(土) 13:19:37.43 ID:sjIJjomh

>>372 つづき

＜おちこぼれ達のための補習講座11＞
（πと√2による同値類の考察）

１．πと√2による無限列の同値類を考えよう
２．補題１：π−√2は有限小数にはならない。
　Proof：ｔ＝π−√2 として、√2＝π−ｔで、2＝(π−ｔ)^2となる。
　もし、ｔが有限小数＝有理数なら、πが有理数係数の代数方程式の根になるので、πが超越数であることに反する。
３．πと√2とを、十進法表示したときの各桁の１〜９の数を順に入れて、無限数列を作るとする
　数列 Rπ ＝(3,1,4,1,5,・・・）
　数列 R√2＝(1,4,1,4,2,・・・）

４．形式的冪級数を作る
　A[[X]]π ＝3+1*X+4*X^2+1*X^3+5*X^4・・・
　A[[X]]√2＝1+4*X+1*X^2+4*X^3+2*X^4・・・

５．補題１より、差 A[[X]]π−A[[X]]√2 は、なお形式的冪級数である。
６．一方、例えば、数列 Rπを数列のしっぽの同値類（Uπとする）の代表として、
　同値類に属する任意の数列は、＜補習講座10＞の記号に倣って
　A'[[X]]π＝A[[X]]π−ΔP(X) と表わすことができる。

７．補題２：A'[[X]]π＝A[[X]]π−ΔP(X) はゼロ級数（0,0,0,0,・・・）には成り得ない。ΔP(X)がm次多項式とすると、必ずm+1以降のどこかにゼロでない項が存在する。
　　（逆に言えば、ΔP(X)＝A[[X]]π−A'[[X]]π となる）
　Proof：ΔP(X)は定義より、有限次数の多項式であり、A[[X]]πは定義より、真性の形式的冪級数であるから。その後の命題は自明。
８．同じことだが、補題２より、ΔP(X)は多項式環に属し、有限次数であるから、必ずしっぽが残る。同じことは√2についても言える。
　つまり、co-tailπとco-tail√2とが存在することが証明された。
　（∵co-tail（しっぽの先）が存在しないということは、ゼロ級数（0,0,0,0,・・・）が実現できることになり、補題２に反する）

９．補題２以降は、任意の同値類について成り立つ。

以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1508931882/376

453: 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む [sage] 2017/11/05(日) 16:16:05.33 ID:1Ii8pHae

>>417-418
さて、本題
”co-tail”については、過去スレ（例えば>>12-13など）で散々書いてきたんだが
改めて書くか・・（＾＾

（無駄な議論を避けるために、くどいが関連事項も書くよ（＾＾ ）

１．数学の「無限集合に対する有限部分」という表現、ないし類似表現、これにちょっと目を慣らして頂きたいので下記の例を挙げる
　１）”無限集合S に対し、補集合が有限であるようなS の部分集合すべての集まりは S 上のフレシェフィルターと呼ばれる。”（フィルター (数学) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A3%E3%83%AB%E3%82%BF%E3%83%BC_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)）
　２）”Let 〜 be the equivalence relation on functions from R to R defined by f 〜 g iff for all but finitely many y, f(y) = g(y). ”（SET THEORY AND WEATHER PREDICTION XOR’S HAMMER Some things in mathematical logic that I find interesting WRITTEN BY MKOCONNOR Blog at WordPress.com. AUGUST 23, 2008 https://xorshammer.com/2008/08/23/set-theory-and-weather-prediction/）

２．上記表現を踏まえて、
　１）時枝記事の数列の同値類について、”可算無限数列のしっぽによる同値類〜と代表との関係は、形式的冪級数環を、ある一つの形式的冪級数を代表として、そのしっぽ(指数の高い項の一致で)の同値類〜を考えることに同じ。”ということを書いた（>>372）
　２）上記の「無限集合に対する有限部分」という表現に倣えば、「可算無限長数列に対する先頭の有限部分を除いて、数列のしっぽが一致する同値類」ってことだ
　３）補題４：これから、導かれることは、任意の同値類の元について「時枝記事の数列のしっぽが一致する部分は、常に可算無限長」だということ。（∵無限−有限＝無限）
　　（但し、もともとの数列が有限長であった場合、その同値類は、”多項式環”そのものに相当することになる。この場合、”しっぽ”の部分が、空と考えても良いし、０が入っていると考えてもよいだろう。）

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1508931882/453

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