現代数学の系譜11 ガロア理論を読む32 [無断転載禁止]©2ch.net

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175: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/05/23(火) 00:08:11.70 ID:I0gd4mu6

下記は、随分以前にコピペしたと思うが、再掲する（＾＾
http://fuchino.ddo.jp/index-j.html
渕野 昌 (Sakae Fuchino) の web page．
http://fuchino.ddo.jp/misc/kobe10-05-15-pf.pdf
ゲーデルの不完全性定理と無限の研究としての集合論
渕野昌 神戸大学大学院情報システム学研究科 2010-05-15
(抜粋)
ヒルベルトは，数学の論理的演繹を外からながめて，記号列の
有限的かつ構成的な操作の体系（有限の立場）として分析するこ
とで，この体系が矛盾しないこと（無矛盾性）を証明する，とい
う計画（ヒルベルトのプログラム）に，1920 年代（大正中期ご
ろ）から精力的に取組みはじめた．
1930 年代に入って，ヒルベルトの研究は実を結びはじめ，ヒルベ
ルトと，ベルナイズ，アッカーマン，フォン・ノイマンといった
彼の協力者たちは，弱い数論の体系や解析学（微分積分学）の古
典的な部分を含む体系についての無矛盾性を確立した．これを推
し進めてゆけばやがては数学のもっと大きな部分についても無矛
盾性の確立ができそうに思えた．

ところが，ゲーデルによって証明された次の定理により，ヒルベ
ルトのプログラムは，ヒルベルトが最初に考えていたような形で
は，実現が不可能であることが明かになった．

定理5 (K. ゲーデル,1931年（昭和6 年）

(1) 任意の，初等数論の体系を含む，具体的に与えられた公理系
は，（それが矛盾しないなら）完全でない．つまり，この公理系で
現われる概念のみを用いて作られた主張φ で，φ も， φ の否定
￢φ もこの公理系から証明できないようなものが存在する．
(2) 任意の，初等数論の体系を含む，具体的に与えられた公理系
について，それが無矛盾であることを，その体系自身での議論で
示すことはできない．

・ 上の(1)(2)はそれぞれ（ゲーデルの）第一不完全性定理，第
二不完全性定理とよばれている．
・(1) でのようなφ は，公理系から独立であるという．
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1495369406/175

243: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2017/05/23(火) 23:52:48.70 ID:I0gd4mu6

>>242 つづき
http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1468584649/190-191
190 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む 2016/07/24
さて
可測非可測について
１．決定性公理を使えば、実数の任意の部分集合について「ルベーグ可測である」ことが従う。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%B1%BA%E5%AE%9A%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
決定性公理を仮定すると、実数の任意の部分集合について「ルベーグ可測である」「ベールの性質を持つ」「完全集合性（英語版）を持つ」ことが従う。
２．そうやって、決定性公理から弱い形の選択公理（可算選択公理）が導かれ、Lebesgue測度を導入することができる（下記4-6節）
https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/29/1/29_1_53/_article/-char/ja/ 決定性公理に関する最近までの諸結果について 無限ゲームの理論 田中尚夫 数学 1977

（また、下記なども参考になるだろう）
http://math.cs.kitami-it.ac.jp/~fuchino/papers/shizuoka-ws06-talk.pdf
ルベーク測度の拡張の可能性について 渕野2006

http://fuchino.ddo.jp/books/intro-to-set-theory-and-constructibility.pdf
第I部 構成的集合と公理的集合論入門 渕野 昌 2015
(抜粋)
選択公理は，ツェルメロがこの公理を定式化した当初から色々と物議をかもした公理である．バナッハ=タルスキーの逆理など，我々の物理的直観と
相容れない結果を導くこともあるため，問題視されることもある．それにもかかわらずこの公理が通常仮定されるのは，
(1.9) 後述のゲーデルの構成的集合に関する結果から，ZF とZFC とは無矛盾性に関して等価であることが示せること13)；
(1.10) Shoenfield の絶対性定理により，集合論での命題として表したときにそれほど複雑な形にならない数学的命題については14)，ZFC で
の証明が得られれば，それから選択公理を用いない証明を作りなおすことができること；
(1.11) 選択公理のオルタナティヴと考えられる決定性公理の成り立つ世界は，選択公理の成り立つ集合論の「宇宙」の内部モデルとしてとら
えることができること- ウディン(H. Woodin) による（本書第II部を参照）；
そして何よりもまず，(1.12) 選択公理の仮定のもとで展開される数学が非常に豊かなものであること，
などがその理由として挙げられるだろう15)．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1495369406/243

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