現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net

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8: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/10/30(日) 14:46:20.09 ID:S5Jl1CaY

層とトポスと直観論理と強制法で連続体仮説
https://sites.google.com/site/kota3takeuchi/home
筑波大学 数理物質系数学域助教竹内耕太
https://sites.google.com/site/kota3takeuchi/announcement/category_seminar_3
category_seminar_3 企画　「圏論への招待」2012
https://sites.google.com/site/kota3takeuchi/announcement/category_seminar_3/sato
3日目　「トポスとは何か：圏論的視点での強制法」：佐藤桂 - Kota Takeuchi:
(抜粋)
　例えば、ある圏Cから集合の圏Setへの（反変）関手圏C＾は（関数環が値域の構造を反映するのと同じく）集合の圏の構造（これは古典論理）を反映しつつも似て非なるトポス（これ直観論理）となります。
ところで、この圏を位相空間Xの開集合系のなす圏O(X)とすれば、この関手圏はその位相空間X上の前層の圏O(X)＾になりますが、幾何学ではこの圏を“絞り込んだ”圏である層の圏Sh（X）を使います。
ちょっと不思議なのは、この絞り込んだ圏Sh(X)にもトポスの構造が入るところです。

「じゃあ、一般の圏にも位相入れたら、層の圏Sh(C)的なの作れて、トポスになんじゃね？」

というわけで圏Cにグロタンディーク位相なるものを入れて作ったトポスがグロタンディーク・トポスです！！
こんなアナロジーがとれてしまうのは驚きですが、これが何の役に立つんでしょうか。

強制法で連続体仮説の成り立たない反例を作るには、そもそもそのモデルがZFC公理系を満たしていなければ意味がありません。
ところが、ZFC公理系は当然ながら古典論理の範疇にあるので、先の集合の圏への関手圏は集合の圏に似てはいても、そのままでは直観論理状態で使い物になりません。

ところがところが、この直観論理状態のトポスには「二重否定が元に戻らない」ことを利用して“二重否定位相”なるものを作ることができて、これを使って圏を“絞り込む”（層の圏を切り出す）と
なんと、古典論理状態のトポス（しかも集合の圏とは違うもの、コーエン・トポス）になります！！
これでめでたくZFC公理系を満たす新しいモデルが作れ、しかもこのモデルが連続体仮説をダメにすることがわかるのです。

本講義では、いちばん面白いと思われる、この層への絞り込み（特に二重否定位相を使った絞り込み）を詳しめに紹介したいと思っています。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/8

29: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/10/30(日) 15:30:15.33 ID:S5Jl1CaY

>>8 関連

https://www.jstage.jst.go.jp/article/sugaku1947/35/1/35_1_50/_pdf
トポスの基礎Part Ｉ 論理からみたトポス 倉田令二朗   SUGAKU    Vol. 35 (1983) No. 1    Released: December 25, 2008
(抜粋)
§0.序論
(1) トポスの登場.トポスはGrothendieck Topos, Lawvereの圏論的集合論と論理の圏論的解
釈の研究1),および伝統的なcHa(complete Heyting algebra)上の直観主義論理の結合としてLaw
vereとTierneyによって生み出された(1970[27]).最初のスロー一ガンは層の理論のinternaliza
tion,すなわちGrothendieck toposの圏論にとっての狸雑な部分2)=集合論的部分をelementary
toposの有限図式で書きかえることであった(本文3.1がそのはじまりである)([10],[ 20],[48]).こ
の方向はinterna1 category論に関するDiaconescu等の精緻な研究([3])を経て徹底して推進され
た([16]2,3,4章)。

(2) トポスによる統合.

(6)層の圏. §3の例はいずれも集合論的に定義されるものであるが参考書をあげるにとどめる.
とくにV(H)は竹内外史氏が来日中(1979)にひろめた数々のスローガン, ‘アーベル群(環)の直観
主義化はアーベル群(環)の層である.一変数関数論の直観主義化は多変数関数論である' (5)等を具現
するモデルであり,実例研究のたえざる出発点である([43]) .§4はAC(選択公理)やB(ブール的)
等の制限をもつトポスを扱うが伝統的な基礎論の課題の多くが関係する部分の一つである.§5は
集合論のモデルをトポスの中で構成することであり(林[54]),これでPart Ｉの課題は一段落つくこ
とになる.なおFourman [8］がhierarchy的なやり方でGr-トポスにおいて集合論のモデルを作っ
たが林のそれと同値であることが林自身によって示されている.
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/29

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