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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net (716ﾚｽ)
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621: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/12/03(土) 11:53:32.39 ID:6Rgz8i9T 形式的冪級数は、ヒルベルト空間の外かな？（＾＾； https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BD%A2%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%86%AA%E7%B4%9A%E6%95%B0 形式的冪級数 (抜粋) 数学において、形式的冪級数（けいしきてきべききゅうすう、英: formal power series）とは、多項式の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。例えば、（X を不定元として） ? (n = 0 - ∞) X n = 1 + X + X^ 2 + X^ 3 + ? + X^ n + ・・・ は（多項式ではない）冪級数である。 (引用終り) https://en.wikipedia.org/wiki/Formal_power_series In mathematics, a formal power series is a generalization of a polynomial, where the number of terms is allowed to be infinite; this implies giving up the possibility of replacing the variable in the polynomial with an arbitrary number. http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/621
622: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/12/03(土) 12:21:35.44 ID:6Rgz8i9T >>621 形式的冪級数 関連 引用 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む19 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1462577773/125 125 ：現代数学の系譜11 ガロア理論を読む：2016/05/15(日) 07:50:16.70 ID:2TKPQHsX >>93 自己レス ”時枝の箱の列←→形式的冪級数の集合R[[x]]”と書いたけど 下記、落合理先生は、「係数が無限個0 でないものもゆるす形式的べき級数K[[X]] を考えると, V = K[[X]] もK ベクトル空間であるが, 次元は非可算無限である.」という 「時枝の箱の列←→形式的冪級数 という全単射対応は、認めるとしよう」と書いたけど、間違いかな。ここ突っ込んでくる人いなかったけど（＾＾； K[[X]] が”次元は非可算無限”という理由は、テイラー展開の二項定理 (1+x)^α （αは任意の実数 または複素数）で、これが形式的冪級数に展開できるからだろう しかし、全単射可能だと、ベクトル空間の次元は一致しないといけない。だから全単射ではない？ はて メモしておきます ともかく、時枝先生のなぞかけは、けっこう深いね http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/ 数学考究２ 確認小テスト解説(10-8) 落合理 大阪大学 20151008 http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/kakunin_short_exam151008.pdf 確認小テスト問題(10/8) http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/kaitou_short_exam151008.pdf 確認小テスト解説(10/8) Q.[3] 次のベクトル空間V に対して, 基底を具体的に記せ. (4) K 係数の1 変数多項式環K[X]. A.[3](4) 例えば, 1,X,X^2, ． ． ． ,X^n, ． ． ． が基底となる. 発展的コメント 若干の注意を与えておく. 教科書の定理1.6.7 によって勝手なK ベクトル空間は基底を持つことが知られている. しかしながら, V が無限次元のときには与えられたベクトル空間に(4) のようにわかりやすい基底がとれるとは限らない. 例えば, K[X] の代わりに係数が無限個0 でないものもゆるす形式的べき級数K[[X]] を考えると, V = K[[X]] もK ベクトル空間であるが, 次元は非可算無限である. （引用おわり） 以下略 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/622
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