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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net (716ﾚｽ)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/
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592: １３２人目の素数さん [sage] 2016/12/01(木) 19:14:02.88 ID:i2ODE144 >>566 (>>591の続き) そうすると、 1)：K≠Q のときは、実数xがK上代数的か超越的かどちらなのか、が分かればいい。 実数xについて或る体K上代数的か超越的かのどちらなのかが分からないなら、これが分かればいい。 そのことが分かれば、あとは、複素数体C上ではKの代数的閉包Fが存在し、K∩F はRの部分体であって、 かつQに対するRにおいての体の拡大 F/K の中間体だから、Q⊂K∩F⊂R、R＼(K∩F)⊂R＼Q から x∈K∩F⊂R (xがK上代数的) か x∈R＼(K∩F) (xがK上超越的) のどちらかが分かる。なのだから、上の >さて、命題A：「Tran ∈ 超越数、 Algn ∈ 代数的数」 → 命題B：「Tran と Algnとは同じしっぽの同値類に >属さない」 が言える ∵無限少数展開のしっぽは一致しないから と同様なことがいえて、Bと同様な命題が成り立つための1つの十分条件が分かる。 ここで改めて、K∩F はQに対するRにおける体の拡大 R/Q の中間体で、Q⊂K∩F⊂R、R＼(K∩F)⊂R＼Q なることに注意する。 2)：K＝Q のとき、K∩F＝Q だから「x∈Q⊂R (xが有理数) か x∈R＼Q⊂R (xが無理数)」が分かればいい。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/592
594: １３２人目の素数さん [sage] 2016/12/01(木) 19:51:29.02 ID:i2ODE144 >>566 (>>593の「(>>582の続き)」は「(>>592の続き)」の続きに訂正) (>>593の続き) (4)：x∈K(x) (Kは(3)と同じ) に対して K(x) 上代数的独立な実数x'が存在するときは、 K(x, x') はx'のRの中での K(x) の超越拡大体で x∈K(x, x')⊂R となるから、 Rにおいて同様に K(x, x') 上代数的独立性な実数の存在性の問題や Rにおける超越拡大体の構成の問題を考えることにより、xが属するような Rにおける超越拡大体をRの中で帰納的にどこまでRの中で拡大して構成出来るか、 という問題に帰着される。 (5)：あとは(4)と同様な問題になって、(4)と同様な問題をどこまでつまり何回帰納的に 繰り返して考えるられるかという問題か、或いはあり得ないことだとは思うが どこかで(4)(か(3))と同様なことが出来なくなることを示す問題になる。 こんな感じだろうな。まあ、Rにおける完全不連結な位相体K (Kは(3)と同様) からはじめ、 デデキント切断と同様な操作を帰納的に繰り返して行くと、RにおけるKの超越拡大体は 無限回Rの中で体の拡大の操作を繰り返してRにおける完全不連結な位相体の列 K, K(x, x', …), … を構成出来るから、どこかで打ち切らないと意味がなくなる問題だな。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/594
595: １３２人目の素数さん [sage] 2016/12/01(木) 20:31:43.09 ID:i2ODE144 >>566 >>593の(1)の「10進無現表示された実数x」の部分は「10進無現小数表示された実数x」 と訂正。 まあ、10進無現小数表示された実数xが、どのような R＼Q やRにおける完全不連結な位相体 としてのQの超越拡大体(或いはQの代数拡大体AとQの差集合A＼Q)に属するのかによって、 xの小数点第一位以下にどのような数字が現れるかということについての法則性は違う筈だ。 これは>>592の1)から大体すぐ見当が付く。xが代数的無理数のときは>>593の K＝Q∩F FはQの代数的閉包 とQの差集合 K＼Q∋x についても考えることになるな。 スレ主のいう命題Bについての1つの十分条件は大体分かったわな。 じゃ、おっちゃん寝る。今度の訂正は明日以降。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/595
620: １３２人目の素数さん [sage] 2016/12/03(土) 11:38:42.21 ID:mQeh06cb >>604 >>600-602の議論が自然数変数 k≧2 の値を固定せずに上から評価したり、 y-c_0 の下からの評価が抜けていたりして杜撰だった。 しかし、そもそも、スレ主のいう問題に答える「だけを考える」場合は、 可算無限進小数展開なる概念が無意味だった。 >>583で述べたような一様分布の問題や正規数「だけ」を扱ったり考える にあたっては、可算無限進小数展開なる概念は必要ない。 もし意味が生じたら、有理数体Qが実数体Rの商体で Rの最小の部分体なることに反し矛盾が生じる。 この場合は、>>591-593の(1)までや、>>599の前半のxの無理性の判定 に帰着されることの議論だけで済む。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/620
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