現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net

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616: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/12/03(土) 11:21:14.38 ID:6Rgz8i9T

>>615 つづき

>>579-580 そうL^2数列空間（ヒルベルト空間）なんだ

で
＜なぜヒルベルト空間なのか？＞

１．これがよく纏まっている
http://d.hatena.ne.jp/Zellij/20120521/p1 ヒルベルト空間 - 大人になってからの再学習: 2012-05-21 [物理数学]ヒルベルト空間
(抜粋)
物理学で参考になる「物理のかぎしっぽ」のサイトでも、簡潔に言うと次のような説明のされ方をしている。

ヒルベルト空間とは内積を定義したベクトル空間
http://hooktail.sub.jp/vectoranalysis/InnerdotSpace/

ところで、WolframAlphaで検索してみたら、次のような説明があった。

A vector space that has a complete inner product. Hilbert spaces are important in the study of infinite-dimensional vector spaces.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=Hilbert+space

これは「物理のかぎしっぽ」同様、「内積を定義したベクトル空間」ということだ。シンプルで明快。

ちなみに、内積が計算できるということは、自分自身との内積の平方根から距離（ノルム）を定義でき、角度も扱えるということで、一般的な幾何学の概念を扱える。ということに他ならない。
(引用終り)

２．ヒルベルト空間での数列では、級数(数列の和)が収束する（有限）ことを要求することで、数列を容易に扱うことができるようにしてあると
　 逆に言えば、ヒルベルト空間外での数列では、級数(数列の和)が必ずしも収束しない（有限でない）から、数列を容易に扱うことはできないと

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93
(抜粋)
複素数を項とする無限数列 z = (z1, z2, …) で級数

? n = 1 -∞ | zn | ^2

が収束するようなもの（自乗総和可能な無限複素数列）全体の成す数列空間を L^2 で表す。

空間 L^2 の完備性は「L^2 の元からなる級数が（ノルムの意味で）絶対収束するならば必ず、その級数が L^2 の何らかの元に収束する」ことを示せば言える。このことの証明は解析学の初歩であり、この空間の元からなる級数は複素数（あるいは有限次元ベクトル空間のベクトル）からなる級数と同程度容易に扱うことができる[5]。
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/616

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