現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net

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566: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/27(日) 15:49:12.42 ID:dKz7cXDk

>>565 補足

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0
(抜粋)
超越数（ちょうえつすう、英: transcendental number）とは、代数的数でない数、すなわちどんな有理係数の代数方程式

の解（英語版）にもならないような複素数のことである。
(引用終り)

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BB%A3%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%95%B0
(抜粋)
代数的数（だいすうてきすう、英: algebraic number）とは、ある有理数係数の 0 でない多項式の根となる複素数のことである。
(引用終り)

いま、実数に限定して
超越数（transcendental number）として、一つ Tran という 数を考えよう
Tranのε近傍に、代数的数（algebraic number）Algn という 数を考えよう

つまり、| Tran - Algn |< ε で、いつものように、εはいくらでも小さく取れるとする
ところで、仮定より　明らかに　「 Tran not = Algn 」が成り立つ。 εをいくら小さくとろうとも

つまり、Tran と Algn とのしっぽは一致しない。εをいくら小さくとろうとも ∵しっぽは一致したら、Tran  = Algn となり矛盾
ただ、εはいくらでも小さく取れるから、頭からしっぽの先に近い部分まで、いくらでも一致させることはできる

さて、命題A：「Tran ∈ 超越数、 Algn ∈ 代数的数」 → 命題B：「Tran と Algnとは同じしっぽの同値類に属さない」 が言える  ∵無限少数展開のしっぽは一致しないから

つまり、命題Aで、超越数や代数的数という情報を与えたから、命題Bが言えたのだ
（ここが、ヴィタリ集合論と類似の議論（有理数、無理数という情報を与えてヴィタリ集合の存在を導く）だ）

問題は、超越数や代数的数という情報が、与えられていないときに、命題Bが言えるのか？
εはいくらでも小さく取れるから、頭からしっぽに近い部分まで、いくらでも一致させることはできる

それで、命題Bが言えるには、具体的にどういう情報が必要なのだろうか？　（そこをすっきり理論的に解明できれば、論文が一つ書けるだろう ）
そこを時枝記事はスルーしているのだよ

そして、普通の実数でのヒルベルト空間（コーシー列）でさえ、現代数学では、無限小数のしっぽは扱いかねる
まして、ヒルベルト空間外のR^Nにおいておや

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/566

584: １３２人目の素数さん [sage] 2016/11/29(火) 17:41:46.78 ID:GlCgAQ0n

>>566
あと、
>さて、命題A：「Tran ∈ 超越数、 Algn ∈ 代数的数」→ 命題B：「Tran と Algnとは同じしっぽの同値類に属さない」 が言える
>∵無限少数展開のしっぽは一致しないから
>
>つまり、命題Aで、超越数や代数的数という情報を与えたから、命題Bが言えたのだ
>（ここが、ヴィタリ集合論と類似の議論（有理数、無理数という情報を与えてヴィタリ集合の存在を導く）だ)
>
>問題は、超越数や代数的数という情報が、与えられていないときに、命題Bが言えるのか？
>εはいくらでも小さく取れるから、頭からしっぽに近い部分まで、いくらでも一致させることはできる
>
>それで、命題Bが言えるには、具体的にどういう情報が必要なのだろうか？
>（そこをすっきり理論的に解明できれば、論文が一つ書けるだろう ）　そこを時枝記事はスルーしているのだよ
について。標数を0として考える。10進無限小数展開された実数を任意に取り、xとする。
任意に、実数体Rの完全不連結な部分体K(Kは、例えば Q(e)  eはネイピア数 などのような或るRの部分体の超越拡大体でもいい)
を取る。そうすると、実数xがK上代数的か超越的かどちらなのか、が分かればいい。実数xについて或る体K上代数的か超越的か
のどちらなのかが分からないなら、これが分かればいい。そのことが分かれば、あとは、複素数体C上ではKの代数的閉包Fが存在し、
K∩F はRの部分体で体の拡大 F/K の部分体だから、x∈K∩F⊂F (xがF上代数的) か x∈R＼(K∩F) のどちらなのかが分かる。だから、上の
>さて、命題A：「Tran ∈ 超越数、 Algn ∈ 代数的数」 → 命題B：「Tran と Algnとは同じしっぽの同値類に属さない」 が言える
>∵無限少数展開のしっぽは一致しないから
と同様なことがいえて、Bと同様な命題が成り立つための1つの十分条件が分かる。スレ主のいう
>問題は、超越数や代数的数という情報が、与えられていないときに、命題Bが言えるのか？
という問題は、超越数や代数的数の定義から、任意に与えられかつ10進無現表示された実数xの超越性を判定する問題に帰着される。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/584

600: １３２人目の素数さん [sage] 2016/12/02(金) 07:50:33.90 ID:EiFQky51

>>566
(>>599の続き)
まあ、可算無限個の数字やその代わりとなる記号を用いて表わされる実数は、
次のようにして構成的に示せ、その存在性は保証される。
[第１段]：第n項が a_n＝b_n−1 と表わせて a_n≦n を満たすような
非負の実数列 {a_n} と、非有界で単調増加な1以上の実数列 {b_n}  を構成する。
整数部分を表わす数字代わりの記号 c_0 を {a_n} の項を任意に用いて表わすことからはじめ、
各 k＝1,2,… に対して、小数点以下、小数点第k位を表わす数字代わりの記号 c_k を、
c_k＝a_{k+1} と a_{k+1} を用いて c_1＝a_2, c_2＝a_3, … と帰納的に可算無限回表わして行く。
そして、{a_n} の項の部分列 c_0, c_1, c_2, … つまり c_0, a_2, a_3, … を構成する。
[第２段]：c_0, a_2, a_3, … を用いて無限小数表示された実数を c_0.c_1c_2…c_k… と表わして
構成し y＝c_0.c_1c_2…c_k… とおく。そして、yが実数になることを確認する。
yが実数なることの確認作業は、次のようにする。
k, n を n＞k を満たすような2以上の自然数変数とする。k≧2 のとき 0＜a_1≦1 で、
c_1/(n^1)＝a_2/n であり、c_k/(n^k)＝a_{k+1}/(n^k)≦(k＋1)/ (n^k) だから、
y−c_0＝0.c_1c_2…c_k…　　　　　　( 右辺は上で構成したyから c_0 を引いたときの表示 )
　　　　　＝Σ_{k＝1,…,+∞}( c_k/(n^k) )＝Σ_{k＝1,…,+∞}( a_{k+1}/(n^k) )
　　　　　＝a_2/n＋Σ_{k＝2,…,+∞}( a_{k+1}/n^k )
　　　　　≦a_2/n＋Σ_{k＝2,…,+∞}( (k＋1)/n^k )
　　　　　≦a_2/n＋Σ_{k＝2,…,+∞}( 1/n^{k-1} )　　　( ∵ n≧k＋1 )　　
　　　　　＝a_2/n＋Σ_{k＝1,…,+∞}( (1/n)^k )
　　　　　＝a_2/n＋(1/n)・Σ_{k＝1,…,+∞}( (1/n)^{k-1} )＝a_2/n＋(1/n)・( 1/(1−1/n) )
　　　　　＝a_2/n＋1/(n−1)、
従って、k→+∞ とすると n→+∞ となり a_2/n＋1/(n−1)→+0 となるから、y−c_0≦0。
そして、yの構成に注意すると、y−c_0≧0。従って、y−c_0＝0 から y＝c_0 となり、
c_0 が可算無限個の数字やその代わりとなる記号を用いて表わされた実数になる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/600

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