現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net

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551: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/27(日) 13:12:06.81 ID:dKz7cXDk

>>549 補足

構成主義と”自然数の定義における非述定性”、（推移性）を見るだけでは不十分！
http://www.info.human.nagoya-u.ac.jp/lab/phil/kukita/works.html
久木田水生のページ - 人間情報学研究科 - 名古屋大学
http://phsc.jp/dat/rsm/20070617a1.pdf
http://ibrarian.net/navon/paper/Cf__Poincar___La_Science_et_L_Hypoth_se__Flammari.pdf?paperid=14103120
久木田水生「フレーゲの論理主義再考」（科学基礎論学会，鳥取大学，2007年）
(抜粋)
１　フレーゲによる数学的帰納法の導出

フレーゲは概念の間の等数性を、二つの概念に帰属する対象の間に一対一の対応がつけられること、として定義する。概念Fz とGz が等数であるということをFz ≡ Gz によって表すことにする。
つまり任意の概念Fz、Gz、Hz に対して、
（反射性）Fz ≡ Gz
（対称性）Fz ≡ Gz ならば、Gz ≡ Fz
（推移性）Fz ≡ Gz かつGz ≡ Hz ならば、Fz ≡ Hz
が成り立つ。ある集合の上に定義された同値関係は、その集合を同値類によって直和分割することを可能にする。

しかし定義（GZ）によっては、実際に全ての自然数に対応する基数が存在することは保証できていない。というのも、任意の自然数n について、その自然数に対応する基数が定義されるためには、Az (Fz) がn に対応するような概念Fz が、少なくとも一つ存在することが言えなければならないからである。

しかしこれでもまだ十分ではない。上の説明は、個々の自然数n に対応する基数n がどのように与えられるかを説明してはくれるが、しかしこれで自然数全体に対応する有限基数一般が定義されたわけではないのである。

２　自然数の定義における非述定性

非述定的定義がしばしば問題にされるのは、それが循環的であるということ、またその循環性ゆえに、種々の集合論的パラドクスの原因になったということによる。

ここから明らかなのは、非述定的定義が循環であるとする議論と、循環ではないとする議論の間の対立は、数学的概念についての構成主義的な見解と実在論的な見解との間の対立に還元することができる、ということである。

(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/551

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