現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net

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569: １３２人目の素数さん [sage] 2016/11/27(日) 16:34:58.65 ID:C7ghjjL/

>>548
(>>568の続き)
スレ主のいうように1)と2)の実行が出来るかどうかを問題視するにあたっては、
文脈上と読解上「無限数列のしっぽを見分けられないこと」を前提とするしかない。
つまり、「無限数列のしっぽを見分けられない」として話を進めることになる。
3角関数のグラフの曲線のように、上下の値が有界であるような周期関数のグラフ C(n), ∃n∈N に対して、
C(n) との交点が可算無限個存在するような直線 l(n) を引いた場合も含めて考えることになる。
このような可算無限個の交点と l(n) の存在性は、周期関数の定義と周期関数の上下の有界性から幾何的にはすぐ分かる。
各 n∈N に対して L(n) と l(n) の交点のx座標を s_n とする。値が小さい方から s_1, s_2, … と並べて行く。
すると、R^N の点 s＝(s_1, s_2, …) が構成出来る。このような R^N の点 s＝(s_1, s_2, …) の構成は、
スレ主の趣旨に沿った R^N の点の構成である。だから、s＝(s_1, s_2, …) に対しては、
スレ主の趣旨に添うと、スレ主のいう1)と2)の実行が出来るかどうかを検証しても構わない。
そこでスレ主のいうような1)と2)の実行についての検証を行う。
数列 s_1, s_2, … の各項 s_n∈R (n∈N) は、有理直線Qを実数直線Rに埋め込んで、QをRに完備化し、
Rの元として定義される。いわゆる、カントール式の実数の定義をすることになる。
カントール式の実数の定義をするにあたっては、その後、一旦距離空間 R^N を定義して、距離空間 R^N の点列
の収束や極限、部分列などを定義する。そして、コーシー列も定義する。
そうしてRが連結なハウスドルフ空間なることを確かめる。その後、任意の完備な順序体がRに同型なことも確かめる。
それから、一旦、有理数列全体 Q^N に対して時枝がいった関係〜と同様な関係〜を定め、数列空間 Q^N の中で
関係〜が同値関係になることを確かめて、Q^N に属する有理コーシー列として実数を定義する。
これが実数の定義の大体のあらましである。
しかし、カントール式の実数の定義とデデキントによる実数の定義は同値だから、
やはりスレ主の投げ掛けた問いは意味をなさない。実数のカントール式の実数の定義の話に戻っただけである。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/569

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