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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net (716ﾚｽ)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/
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364: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/19(土) 22:48:43.77 ID:0Q0Vh9CE >>363 補足 大学レベルでは、超限帰納法で、普通に自然数以外の添字集合使います。整列可能定理により、任意濃度の集合に対して、添字集合として使えますが、なにか https://kotobank.jp/word/%E8%B6%85%E9%99%90%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95-97776 超限帰納法(ちょうげんきのうほう)とは - コトバンク: ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典の解説 超限帰納法 ちょうげんきのうほう transfinite induction 順序数αで番号づけられた命題 P(α)について，ξ＜αについて P (ξ) が成立すれば，P (ξ) を証明することによって P (α) を証明する方法。自然数についての数学的帰納法を一般化したものである。 本文は出典元の記述の一部を掲載しています。 世界大百科事典 第２版の解説 ちょうげんきのうほう【超限帰納法 transfinite induction】 一般化された数学的帰納法の一種で，次のような証明法である。整列集合Λの各元λに命題Pλが対応しているとき，次のことが証明できれば，すべてのPλは正しい。 〈各λ∈Λに対して，μ＜λならばPμが正しいという仮定のもとで，Pλは正しい〉。 これでよい理由は，Pλが正しくないようなλがあったとして，そのようなλ全体の集合をMとすれば，Λが整列集合という仮定により，Mに最小元αがある。 するとμ＜αならばPμが正しいのだから，Pαも正しいはずで，α∈Mに反する。 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95 (抜粋) 超限帰納法 上記の形で自然数について定式化された数学的帰納法は、任意の整列集合に対して次のように一般化することができる。 任意濃度の集合は選択公理と同値な整列可能定理により整列順序を持つとすることができるので、選択公理を含む公理系であれば超限帰納法は任意濃度の集合に対して成立すると主張できる。 (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/364
367: １３２人目の素数さん [sage] 2016/11/19(土) 22:58:21.57 ID:zvdoNxu/ >>353 > 箱には番号も目印もない前提だろう https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E5%88%97%E9%9B%86%E5%90%88 > 順序 > 0, 2, 4, 6, 8, ..., 1, 3, 5, 7, 9, ... > が挙げられる。この順序に関する整列集合の順序型は ω + ω である。 > 任意の元が直後の元を持つ（したがって最大元は存在しない）が、直前の元を持たない元が 0 と 1 の二つ存在する。 上の整列集合をそのまま数列だと考えたとして1の直前の元が無いことから有限個の箱を並べて 箱の数を増やした極限を一度とり(0, 2, 4, 6, 8, ... の部分)再度新たに有限個の箱を並べて極限を とる必要がある(1, 3, 5, 7, 9, ... の部分) 有限個の箱をまず並べそこから箱の数を増やして極限を一度とったあとに再度箱を加える操作が行われなければ 箱の中身がキマイラ数列であることはないので解答者はキマイラ数列を排除できる > 自然数N全体の半分しか使っていないよ、だから長さの比を有限からの極限で考えると半分だよ > 同じ長さと言えるのか？ 2*(1), 2*(2), 2*(3), 2*(4), ... , 2*(n), ... の()の中に見られる 1, 2, 3, 4, ..., n, ... は何か答えてもらえますか？ >>364 超限帰納法と言っても0, 2, 4, 6, 8, ... の部分と1, 3, 5, 7, 9, ... の部分で分けて考えることは同じ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/367
368: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/19(土) 23:10:48.20 ID:0Q0Vh9CE >>364 補足 いま、ここに一つの０〜９までの一桁の数からなるランダムな数列 例えば、9,8,7,1,2,3,4,5,6,7,8,9,9,8,7,6,6,5,5,・・・・・ という数列があったとする どういう添字集合で添え字するかは、数列の本質とは無関係 もし、無限数列なら、まずは可算か非加算かが問題だろう 数列が可算無限なら、任意の可算無限集合で添え字すれば、数学としては、それでなんら問題がないはず もちろん、前から1,2,3・・・と連番を付与できれば最も単純だろうが・・ 逆に考えれば、任意の可算無限集合になんらの方法で順序を入れて、順序集合にすることができれば、その順序集合と自然数の集合とは全単射が可能。だから、任意の可算無限順序集合で順序付けできる数列があれば、それは可算無限個からなる数列そのもの それが、大学レベルの数学の結論だろ？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/368
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