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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net (716ﾚｽ)
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269: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/12(土) 07:34:47.45 ID:CRbt3jrT これいいわ http://mathsoc.jp/publication/tushin/1003/takahashi.pdf 加藤 五郎 著 『コホモロジーのこころ』 岩波書店 2003 年 (抜粋) 専門書としては珍しいが，一般的な数学書で繰り返し登場する「定義」や「定理」 といった単語で始まるパラグラフが，この本にはほとんど見当たらない．「証明」で始まるパ ラグラフにいたっては，まったく存在しないのである．では，書かれている結果に証明はま ったく施されていないのか．そうではない．むしろ非常に証明に力が入れられている．証明 は，パラグラフとして独立していないだけで，本文中にしっかり織り込まれているのだ．こ のような構成になっているのは，読者が著者と同じ意識レベルで読み進められるように著者 が工夫した結果である． 本書を読んで最も印象に残ったことは，著者のコホモロジーに対する思いである．著者は コホモロジーに心底惚れ込んでいる．コホモロジーが持つ魅力を読者にもわかってほしい， 読者とこの感動を共有したい，という著者の願いが随所に感じられる．実際，その気持ちの 強さは，非常に懇切丁寧な書き方にも反映されている．例えば，右随伴関手の定義をした後 に，普通の本なら「同様に」あるいは「双対的に」といった枕詞に続けて左随伴関手の定義 もできるとだけ言って終わってしまうところを，本書では練習問題にもせずにきちんと説明 してあるのだ．ただ，それゆえにスマートに整理されて書かれているというわけではないの で，読者はどこに何が書いてあったかを後で振り返る際に多少苦労するかもしれない．しか し，他の本が省略しているようなところがきちんと説明されているので，読者は自分の理解 が正しいかどうかを自分自身でチェックすることができる．これは特に初学者にとってあり がたい書き方である．また，数学的に若い人たちにはコホモロジーというものを大きくつか んでもらい，コホモロジーに対して何らかの違和感を持っている人にはそれを解消してもら うために本書を書いた，と著者自身が言っているように，本書は‘イメージ’をとても大切 にしている．抽象的な概念は，初学者にとってはイメージが湧きにくくなかなか理解しがた いものである．その理解を助けるために，著者ならではの独特のイメージが本書全体に散り ばめられている． http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/269
341: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/19(土) 15:49:03.56 ID:0Q0Vh9CE >>269 表現可能関手、HomC(-, X) や HomC(X, -) これが分からなかった 加藤 五郎ちゃん、ありがとう Awodey >>126-127 と併読すると、ようやく分かった 表現可能関手、HomC(-, X) や HomC(X, -) は、米田で使うから、結構大事なんだね https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%89%8B 関手の概念の萌芽はエヴァリスト・ガロアによる群を用いた代数方程式の研究に見ることができる。20世紀はじめのエミー・ネーターらによる加群の研究において拡大加群などさまざまな関手的構成が蓄積された。 20世紀半ばの代数的位相幾何学において実際に関手が定義され、図形から様々な「自然な」代数的構造を取り出す操作を定式化するために利用された。ここでは（基本群のような）代数的対象が位相空間から導かれ、位相空間の間の連続写像は基本群の間の代数的準同型を導いている。 その後アレクサンドル・グロタンディークらによる代数幾何学の変革の中でさまざまな数学的対象の関手による定式化が徹底的に追求された。 表現可能関手 圏 C の対象 X について HomC(-, X) や HomC(X, -) の形にかけるような C から Sets （または C の hom-集合の構造を表すしかるべき圏）への関手は表現可能関手（ひょうげんかのうかんしゅ、representable functor）とよばれる。米田の補題によって表現可能関手たちとその間の自然変換はもとの圏の構造を完全に反映していることが知られる。 数学のさまざまな場面で与えられた関手が表現可能であるかどうかやどんな対象によって表現されるか、あるいはその関手が表現可能になるように圏を変形できるかということが問題になる。 特定の形の図式に関する極限は図式圏への対角埋め込み関手に対する右随伴関手として定式化できる。テンソル積や対象積、交代積は多重線形写像の関手を表現するような対象として定式化できる。 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/341
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