現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net

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110: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/05(土) 10:45:21.89 ID:DzICE8Th

つづき

ところで、数列を頭で分類するのが、コーシー列

>>42にならって
π＝ x ＝ 3.14159265358979…
e/10 ＝ y ＝ 0.2718281828459…
ここで、数列 2718281828459…をπ＝ xの後ろに連結すると
z ＝ 3.14159265358979…2718281828459…

としてみよう
数列を頭で分類するコーシー列なら、x ＝ z
つまり、zはコーシー列として、πに収束する
これは証明できる

proof:
１．πに収束する数列を考える
π＝ 3.14159265358979… ＝a1. a2a3a4a5・・・an・・・
a1=3, a2=1,a3=4,a4=1,a5=5・・・・・　（an＝πの少数第n-1位の数）・・・

２．ここで、e/10 ＝ 0.2718281828459…、e/100 ＝ 0.02718281828459…,・・・,e/10^n=0.0・・・2718281828459…（少数第ｎ位から2718281828459…となる） を考える

３．πに収束する次の数列を考える
π'1=a1+e/10＝3. 2718281828459…
π'2=a1. a2+e/100＝3.1 2718281828459…
　・
　・
π'n=a1. a2a3a4a5・・・an+e/10^n＝3.14159265358979・・・an +e/10^n＝3.14159265358979・・・an 2718281828459…
ここで、n→∞の極限を取ると
lim(n→∞) π'n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 2718281828459…

４．ここで、後半のe/10^nの部分は、e/10^n→0に収束する。そして、前半の3.14159265358979・・・an・・・の部分はπに収束する
従って、π'n=a1. a2a3a4a5・・・an+e/10^nは、πに収束する
（ＱＥＤ）

そして、繰り返すが、π'nの数列については、上記のようにπ'1=3. 2718281828459…、π'2=3.1 2718281828459…、・・・、π'n=3.14159265358979・・・an 2718281828459…だったから
n→∞で、lim(n→∞) π'n=3.14159265358979… 2718281828459… と書ける

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/110

160: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/05(土) 23:00:18.46 ID:DzICE8Th

>>155

Ｋは可算無限、Ｎと同じく可算無限
それで話は合うだろ？

ここ（>>149）で言っていることは、決定番号の集合Ｋは数列の長さＮから影響を受けるということ
例えば、簡単にZ^Nで考えよう （Z^N⊂R^N。(本当は正整数で済むが、N^Nでは混乱するから）)

>>110でしたように、πを少数展開して、可算無限長の数列を考えよう。πから小数点を抜いた数列を作る。それをs(π)とする
s(π)∈Z^Nを認めるとしよう　∵πは超越数だから

>>110でしたように、lim(n→∞) π'n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 2718281828459…を示した。e＝ 2.718281828459…だ
ここで、e＝ 2.7に変更とすると、同様にlim(n→∞) π'’n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 27　が得られる。これから得られる数列をAとしよう
e＝ 1.7に変更とすると、同様にlim(n→∞) π'''n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 17　が得られる。これから得られる数列をBとしよう

最後の数字７が一致しているから、同値で A〜B。そこで、Aの同値類の代表をBと仮定する
100列のうちの一つの数列として、e＝ 3.7に変更したとして、同様にlim(n→∞) π''''n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 37　が得られる。これから得られる数列をCとしよう
数列Cと代表Bの比較で、… 37と… 17とで、違いは、3と1のところだけ
とすると、決定番号がどうなるか？　πは超越数で無限桁だということを認めるとどうなる？

なにが言いたいかというと、Z^NにおけるＮの集合の性質が、決定番号の集合Ｋに反映されるということ
だから、決定番号を暴れないように大人しく扱いたいと思ったら、その前の数列Z^Nを規制しないとうまく行かないよと

lim(n→∞) π''''n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 37のような数列は含まれないようにしたい？
どうぞ、お願いします

lim(n→∞) π''''n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 37のような数列は含まれないようにすれば、決定番号は大人しく有限で治まるでしょ
それが可能かも知れないということは否定しないよ

簡単ではない気がするけどね・・
私は面倒だから、逆らわないようにしますよ（＾＾；

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/160

175: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/06(日) 09:23:37.50 ID:ivLdkhn2

>>160 もどる

自画自賛で悪いが
>>110のlim(n→∞) π'n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 2718281828459…を示した。e＝ 2.718281828459…

これ自分で考えた装置だが、結構気に入った
eのところにいろんな数字を入れると、結構遊べる

例えば、e＝10/3=3.3333333…だと
lim(n→∞) π'n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 33333333…

例えば、e＝10/9=1.1111111…だと
lim(n→∞) π'n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 11111111…

例えば、e＝100/99=1.01010101010101…だと
lim(n→∞) π'n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n＝3.14159265358979… 101010101010101…

100/99→1000/999とかいくらでも変えられる

そして、これらe＝ 2.718281828459…、10/3、10/9、100/99、・・・と変わると、しっぽが変わるから、同じ同値類には属さない
問題は、我々にこの差が見分けられるのか？だ

つまり、我々の日常のコーシー列では、これらe/10^nたちは、lim(n→∞) e/10^n→0。 つまりすべてゼロと見なして、問題ないから、無視できる存在なのだ
ところが、しっぽで同値を見るとなると、問題だ

本来のπ＝3.14159265358979… と、lim(n→∞) π'n=a1. a2a3a4a5・・・an +e/10^n との区別がつくのかどうか？
「式が違う」？　そうだ。式が違うから、式が分かっていれば、見分けがつく。しかし、数列しか見えないとしたら？

上記e/10^nみたいなトリビアな存在が、しっぽにちょこっと付いている。それが見分けがつくのか？

そもそも、我々は、時枝がいうように、lim(n→∞)の極限を考えている
繰り返すが、>>110で示したように、コーシー列として扱うならこのようなトリビアな存在は問題ない。が、しっぽで同値を見るとなると、トリビアな存在が大きな問題になるのだった

だから、無限数列のしっぽで同値類を分類するなど、従来の数学には無かったわけで、これを本当に扱えるかどうか
lim(n→∞)の極限を考えている限り、コーシー列ならlim(n→∞) e/10^n→0で収束するが、しっぽの同値類では収束しないので困るよ

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/175

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