現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net

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1: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/10/30(日) 14:06:40.31 ID:S5Jl1CaY

小学生とバカプロ固定お断り！（＾＾；
旧スレが500KBオーバー間近で、新スレ立てる
このスレはガロア原論文を読むためおよび関連する話題を楽しむスレです（最近は、スレ主の趣味で上記以外にも脱線しています。ネタにスレ主も理解できていないページのURLも貼ります。ガロア関連のアーカイブの役も期待して。）
過去スレ
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む24 http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1475822875/
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同17 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1448673805/
同16 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1444562562/
同15
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1439642249/
同14
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同13
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1428205549/
同12
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1423957563/
同11
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1420001500/
同10
http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1411454303/
同9 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1408235017/
同8 http://wc2014.2ch.net/test/read.cgi/math/1364681707/
同7 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1349469460/
同6 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1342356874/
同5 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1338016432/
同(4) http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1335598642/
同3 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1334319436/
同2 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1331903075/
同初代 http://uni.2ch.net/test/read.cgi/math/1328016756/
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http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/1

638: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/12/03(土) 15:18:40.72 ID:6Rgz8i9T

>>114 あと、いままで押さえて言ってない話が、計算複雑性理論
「〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.」>>114
は、計算複雑性理論からは現実的実行は無理だよ（実行不可能）

これは、数学的可否の理論よりずれているから、いままで出さなかったが

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A8%88%E7%AE%97%E8%A4%87%E9%9B%91%E6%80%A7%E7%90%86%E8%AB%96
計算複雑性理論

計算複雑性理論（けいさんふくざつせいりろん、computational complexity theory）とは、計算機科学における計算理論の一分野であり、アルゴリズムのスケーラビリティや、特定の計算問題の解法の複雑性（計算問題の困難さ）などを数学的に扱う。計算量理論、計算の複雑さの理論、計算複雑度の理論ともいう。
「計算量」と「計算複雑性」はともに computational complexity に対応する語であるが、個々のアルゴリズムの効率に着目する文脈では「計算量」が広く用いられるのに対し、問題に内在する本質的困難さを表す意識からは「複雑性」「複雑さ」が好まれる傾向がある。

概要

計算複雑性理論は計算可能関数の計算の複雑さを扱う。計算理論のもう一つの重要な分野である計算可能性理論では問題の解法があるかどうかだけを扱い、その複雑さや必要とする計算資源量は問わない点が異なる。

具体的には、計算複雑性理論は「あるアルゴリズムへの入力データの長さを増やしたとき、実行時間や必要な記憶量はどのように増えるか？」という問いに答える。これは、計算機の実際的な限界を与えるものであり、この理論は産業や社会にとって重要な意味を持つ。
なぜならば、計算機の性能は向上しているが、解析すべき情報も増加しているため、アルゴリズムが入力データ長の増大にうまく対応できるか否かで、計算機が現実的な問題を解決するのに役に立つか否かが決まるからである。

計算複雑性理論では、計算問題やそれを解くアルゴリズムを、NPやPといった複雑性クラスに分類する。
個々の計算問題を少ない計算資源で解くアルゴリズムを発見することはもちろん計算機科学の重要な課題だが、複雑性理論ではこれにとどまらず、計算問題が何らかの複雑性クラスに属すること、あるいは属しないことを証明したり、クラス間の階層構造を解明することも目標とする。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/638

639: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/12/03(土) 15:46:19.37 ID:6Rgz8i9T

>>624 追加

複素数の中で, Q :={ 代数的数} は代数的な手法（ガロア理論）で扱える最も広い世界であり, Q の外に少しでもはみ出た世界は全て超越数であり, 通常のガロア理論では統制されない世界である.
次のような互いに相反する２つの事実に注意したい.
注意1.14. (1) Q は(ある意味で) それほど「大きくない」. 濃度をみると|Q| = |Q| である. (実際, 各自然数i でSi をQ 係数のi 次既約多項式の集合のi 個の和集合として, 定理1.8 (3) の応用として示すことができる. もちろん定理1.8 (1), (2) も用いる)
(2) Q は(ある意味で) それなりに「大きい」. Q の体としての対称性をつかさどる群（ガロア群）は非常に豊富かつ複雑な構造をもっている.
ここで数学と言うのは対称性を非常に大事にするとともに対称性を研究対象とする学問であり対称性を記述するのが「群」の言葉である例えば多面体の対称性などは多面体群という種類の群のことばで記述される.
また体の対称性など目には見えない対称性もガロア群で司られている. ガロア理論成立以後の１世紀以上間の様々な整数論の研究の積み重ねによって有理数体上の代数拡大の対称性は以下の問題としても集約されている. そして現代数学の課題Q がもつ対称性の構造を究明したい.
という問題がある. 例えば, 次のような予想は有名である:

予想（ガロアの逆問題）
全ての有限群はQのガロア群の商となるだろう. 同値な言い換えとして, 勝手な有限群
G に対してQ の有限次ガロア拡大K でGal(K/Q)〜=G となるものが存在するだろう.

例1.15. 例えば正４角形（正方形）の対称性をつかさどる群
?σ, τ |σ4 = τ 2 = 1, τστ = σ?1?
に対しては, K = Q( 4√2, i) とすると,
τ : i 7→ ?i, 4√2 7→ 4√2σ : i 7→ i, 4√2 7→ i 4√2
なる変換は加減乗除を保つ体の同型である.

(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/639

640: １３２人目の素数さん [sage] 2016/12/03(土) 16:44:48.18 ID:mQeh06cb

>>612
>つまり、単に有限からの類推を示したにすぎない（結局実際には可算無限を直接見ていないのだ）
おっちゃんです。
可算無限を実無限の世界で直接見ることが出来ると思っていることが間違い。
実無限の世界で可算無限を直接見ることが出来るとする。
平面Cに無限遠点∞を加えることで、リーマン球面 P^1＝C∪{∞} が構成される。
無碍遠点∞から P^1 上の点Pに引いた直線全体の集合をXとする。
無限遠点∞から引いた P^1 上のあらゆる点と交わらない直線との全体の集合をYとする。
S＝X∪Y とする。任意のXの直線と交わりかつYのあらゆる直線と交わらない平面が一意に存在し、
広義の複素平面 C∪{∞} は P^1 で表せる。複素平面 C とユークリッド平面 R^2 は同型で、
無限遠点∞と正の無限大 +∞ の絶対値について、|∞|＝|+∞|＝+∞ である。
従って、平面 C＝P^1＼{∞} から広義の複素平面 P^1 を構成したことと同様にして考えると、
平面 R^2 に対して無限遠点∞にあたる正の無限大 +∞ を点として加えて
広義の複素平面 P^1＝C∪{∞} にあたる広義の平面 R^2∪{+∞} が構成出来る。
広義の平面を P＝R^2∪{+∞} とおく。すると、広義の平面P上では、平面 R^2＝P＼{+∞} 上の
実無限での可算無限にあたる点としての +∞ を直接見られる。そして、広義の複素平面 P^1 上の
無限遠点∞は、平面C上の点0から任意の方向に半直線を引くと、実無限での正の無限大 +∞ にあたる点である。
従って、平面 R^2 上の原点 O(0, 0) から任意の方向に半直線を引いたとき、
可算無限にあたる点としての実無限での正の無限大 +∞ を見ることが出来ることになる。
しかし、Oから半直線を引いたとき、可算無限にあたる点としての実無限での正の無限大 +∞ を見られるのは、
Oからx軸の正方向に半直線を引いたときだけである。これで矛盾が導けた。
幾何的に見て、実無限の世界で可算無限を直接見ることは出来ないことは分かる。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/640

646: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/12/03(土) 18:07:49.21 ID:6Rgz8i9T

突然ですが
Home page of Yoshinobu Laboratory at ISSP:
吉信研究室 東大
http://yoshinobu.issp.u-tokyo.ac.jp/tsurezure.html
徒然なるままに Jun YOSHINOBU

素粒子の狩人（2009/4/12）
(抜粋)

朝日新聞夕刊のニッポン人脈記は面白い連載記事であり，現在は「素粒子の狩人」というシリーズが続いている．このシリーズは昨年３人の日本人がノーベル物理学賞を受賞したことが下地となっている．
シリーズ第２回目では「イチゴの味？　チョコの味？」と題して，東大・数物連携宇宙研究機構（IPMU）の村山さんにスポットを当てた記事であった．その中に，懐かしい名前を見つけて少々感動した．
京都大学理学部1~2回生で同じクラス（1980年入学のS６）だった大栗博司さん（カリフォルニア工科大学=CALTEC H 教授）がその人である．
当時，京大理学部の入学定員は281人であったが，それは1人の天才＋280人の凡才であり，彼がその一人であるとよく仲間で話をしたものだ．
実際，「彼が物理に行くから」という理由で，３回生からの専門分野を化学や生物にした人が何人かいる．
昨年，京大理で集中講議をしたあと，人文研所属（生命科学研究科兼任）で科学コミュニケーション論・生命倫理が専門の加藤和人准教授の研究室に立ち寄ったときも，その話で盛り上がった（加藤さんもS６だった）．
私がピッツバーグ大学でポスドクをしていた時，大栗さんはすでにシカゴ大学の助教授をされており（一度シカゴを訪ねたときお世話になった），その後，京大数理研，カリフォルニア大バークレー校を経て，現在CALTECHに在籍．
昨年はLeonard Eisenbud Prize for Mathematics and PhysicsおよびHumboldt Research Awardと続けて国際的な賞を受賞された．
大栗さんは東大IPMUの主任研究員でもある．IPMUの建物は柏キャンパスの物性研と宇宙線研の間に現在建設中である．

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/646

649: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/12/03(土) 18:19:20.10 ID:6Rgz8i9T

>>648 つづき

また当時遠藤研の助手だった田村剛三郎先生には、物性実験とはどういうものか、その神髄を教えてもらったような気がする。
この課題演習での実験は泥臭く、高校生の頃に想像していたような華々しい「物理学」とは印象を異にするものだったのだが、しかしむしろ私の進路に対する影響は大きかった。
なんせそれまで同級生や先輩と接してきて自分より優秀な人が多いものだなー、と感じていて、当初の志望だった素粒子論や宇宙論なんて無理かも、と思っていた矢先である。自分に向いているのは理論よりも物性実験かも知れない。そんな方向性を決定づけてくれたのが、このＢ１での半年間の経験だった。

そして十分に準備して大学院入試に臨んだものの残念ながら面接で落とされ（今でも覚えているのだが、物一の面接に進んだ19人の中で落とされたのは3人だけだった）、たまたま受けた（確か友達が受ける、と言ったからつきあいで受けたのだったと思う）阪大基礎工への進学、と言う道を選択せざるをえなくなる。
しかし後から考えると、この転換点は私の「研究者への道」にとっては非常に大きなものだったようだ。

阪大基礎工の大学院に進学した理由は、もちろん京大に落ちてそこしか行くところがなかったからなのだが、それよりも院試に落ちた直後に浅井先生に相談に行った時に「あなたは阪大に行きなさい」と言われたのが決定的だった。
浅井先生と他に話をした記憶はほとんど残っていないのだが、この冷たい宣告（と、当時は思った）は非常に印象的で、これを聞いて私は「いずれ京大を見返してやるぞ」と思ったものだった。とは言え「相転移」をメインテーマにしたいと思っていた私にとっては、実は京大理よりも阪大基礎工の方が適していた、と言うのは後から分かったこと。
そう言う意味では、浅井先生の忠告は極めて適切だった、と言わざるをえない。

因みにその浅井研での課題研究でやったこと、と言えば、同級生の川口昭夫君と一緒にエイコサンの結晶を走査電子顕微鏡で見て、その写真を撮っただけだった。
京大理学部の伝統のおかげで卒論を書くこともなく（つまり「研究」の名には値しない）課題研究の単位をもらい、高校の理科教員の資格ももらって、学ぶことの多かった京都の4年間を無事終えて大阪に移ることになった。

(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/649

656: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/12/03(土) 19:42:06.68 ID:6Rgz8i9T

>>650
はいはい
訂正しておくよ

（訂正開始）
2016年の現時点では、ある実数が、下記のような収束級数として、与えられたときに、e＋πなどは、無限小数展開で、有理数であるのか無理数であるのか証明されていない」、つまり判別できない
有理数は、無限小数展開で、循環小数になることが分かっている（「数の体系の広がり, 周期積分, そして整数論-- 代数と幾何と解析の交わる世界--」落合理 P2より）

だから、e＋πなどは、無限小数展開のすその方で、循環小数になるか否か現時点では不明
さて、e＋πの無限小数展開から、時枝記事の数列a0,a1,a2,a3,・・・・,an,・・・ が構成可能だ

ところで、e＋πなどは、無限小数展開のすその方で、循環小数になるか否かが分からないとなにが不都合か？
>>114 2項で「〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく」となっているので、この実行が時枝解法のキモ

数列のしっぽの判別で、どの類に属するか（例えば大まかに言えば有理数に属するか無理数に属するか）が分からないと、この解法が実行できない
2016年の現時点では、数列のしっぽの判別が、実行できない例があると

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8E%E6%9D%9F%E7%B4%9A%E6%95%B0
収束級数

例
オイラーの定数 γ
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%AE%9A%E6%95%B0
オイラーの定数 γ

あるいは、
e　=1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+・・・+1/n!+・・・
π=1-1/3+1/5-1/7+・・・=Σn=0-∞(1/(2n+1))*(-1)^n （ライプニッツの公式）

で、e＋πやe−πや円周率 π や自然対数の底 e の大抵の和、積、べき乗は、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない。（下記）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0

http://www.math.sci.osaka-u.ac.jp/~ochiai/olympic2010.pdf
「数学オリンピック財団主催JMO夏季セミナー」 でのレクチャートーク (180分)(2010/8/26) (木)
「数の体系の広がり, 周期積分, そして整数論-- 代数と幾何と解析の交わる世界--」落合理 大阪大学
(抜粋)
実数の中で有理数は循環小数として特徴づけられる.
(引用終り)
（訂正おわり）

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/656

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