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現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net (716ﾚｽ)
現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/
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449: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 00:03:24.25 ID:Py08+Ohv >>406-409 補足 ID:rkO54fhGさん、あんたの話は、ヒルベルト空間と比較すると、よく分かるように思う まあ、ヒルベルト空間は、正直私もあまり分かっていない ￥さん辺りには、「こいつ分かってない」とお見通しだろうが、まあ書いておくか（＾＾； https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93 ヒルベルト空間 (抜粋) 数学におけるヒルベルト空間（ヒルベルトくうかん、英: Hilbert space）は、ダフィット・ヒルベルトにその名を因む、ユークリッド空間の概念を一般化したものである。 これにより、二次元のユークリッド平面や三次元のユークリッド空間における線型代数学や微分積分学の方法論を、任意の有限または無限次元の空間へ拡張して持ち込むことができる。 ヒルベルト空間は、内積の構造を備えた抽象ベクトル空間（内積空間）になっており、そこでは角度や長さを測るということが可能である。 ヒルベルト空間は、さらに完備距離空間の構造を備えている（極限が十分に存在することが保証されている）ので、その中で微分積分学がきちんと展開できる。 ヒルベルト空間は、典型的には無限次元の関数空間として、数学、物理学、工学などの各所に自然に現れる。 そういった意味でのヒルベルト空間の研究は、20世紀冒頭10年の間にヒルベルト、シュミット、リースらによって始められた。 ヒルベルト空間の概念は、偏微分方程式論、量子力学、フーリエ解析（信号処理や熱伝導などへの応用も含む）、熱力学の研究の数学的基礎を成すエルゴード理論などの理論において欠くべからざる道具になっている。 これら種々の応用の多くの根底にある抽象概念を「ヒルベルト空間」と名付けたのは、フォン・ノイマンである。ヒルベルト空間を用いる方法の成功は、関数解析学の実りある時代のさきがけとなった。 古典的なユークリッド空間はさておき、ヒルベルト空間の例としては、自乗可積分関数の空間 L2、自乗総和可能数列の空間 ?2、超関数からなるソボレフ空間 Hs、正則関数の成すハーディ空間 H2 などが挙げられる。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/449
453: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 00:13:28.04 ID:Py08+Ohv >>450 ああ、そうだね あんまり考えずに、乗せられてコピペしちまったな〜（＾＾； >>399訂正するわ （訂正） Yes！ 有限数列を項とする列の極限を考えるのは数学の基本だろ？ ↓ Yes！ 有限数列の極限を考えるのは数学の基本だろ？ （訂正おわり） ことろで、聞くがコピペ元>>398の”つまり有限数列を項とする列の極限を考えていると？”の「有限数列を項とする列の極限」てどういう意味だ？ 説明頼むよ。発言元はおまえだろ？ （＾＾； http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/453
457: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 00:19:17.96 ID:Py08+Ohv >>449 つづき 定義 H がヒルベルト空間であるとは、H は実または複素内積空間であって、さらに内積によって誘導される距離関数に関して完備距離空間をなすことを言う[2]。ここで、H が複素内積空間であるというのは、H は複素線型空間であって、その上に内積、即ち H の元の対 x, y に複素数 ?x,y? を対応させる写像であって、条件 １．?y,x? は ?x,y? の複素共役である： ? y , x ? = ? x , y ? ￣ .. ２．?x,y? は第一引数に関して線型である[3]： 任意の複素数 a, b に対して ? a x 1 + b x 2 , y ? = a ? x 1 , y ? + b ? x 2 , y ? ３． 内積 ??, ?? は正定値である： ? x , x ? ? 0 かつ等号成立は x = 0 と同値。 を満たすものが存在することをいう。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/457
460: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 00:27:43.42 ID:Py08+Ohv >>457 ありゃ、文字化けしたか。不便な板だな（＾＾； 複素共役の上バーもだめかね これでどうだ （再掲） ?>>449 つづき 定義 H がヒルベルト空間であるとは、H は実または複素内積空間であって、さらに内積によって誘導される距離関数に関して完備距離空間をなすことを言う[2]。ここで、H が複素内積空間であるというのは、H は複素線型空間であって、その上に内積、即ち H の元の対 x, y に複素数 <x,y> を対応させる写像であって、条件 １．<y,x> は <x,y> の複素共役である： < y , x > = 共役（< x , y > ） ２．<x,y> は第一引数に関して線型である[3]： 任意の複素数 a, b に対して < a x 1 + b x 2 , y > = a < x 1 , y > + b < x 2 , y > ３． 内積 <・, ・> は正定値である： < x , x > ? 0 かつ等号成立は x = 0 と同値。 を満たすものが存在することをいう。 つづく http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/460
461: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 00:36:09.67 ID:Py08+Ohv >>460 つづき 数列空間の場合 自乗総和可能な複素数列の空間 ?2 とは、各項が複素数の無限数列 ( c 1 , c 2 , c 3 , ・・・ ) で、条件 | c 1 |^2 + | c 2 |^2 + | c 3 |^2 + ・・・ < ∞ を満たすもの全体からなる集合（に、項ごとの和、スカラー倍、標準内積を入れたもの）である。この空間には標準的な正規直交基底 e 1 = ( 1 , 0 , 0 , ・・・ ) e 2 = ( 0 , 1 , 0 , ・・・ ) が存在する。 このようにすると、この和が有限であるところの L^2(B) の各元は、可算個の例外を除いた全ての項が 0 になることがわかる。 と内積を定めれば、この空間は実際にヒルベルト空間となる。右辺の和は、0 でない項が高々可算個しかないから意味を持ち、またコーシー・シュヴァルツの不等式によって無条件収束であることがわかる。 (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/461
462: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 00:44:54.34 ID:Py08+Ohv >>461 補足 おっと、肝心なところの引用が抜けた ＜補足＞ 定義 （追加） このようにして定義される距離関数に関して、任意の内積空間は距離空間となる。内積空間のことを前ヒルベルト空間 (pre-Hilbert space) と呼ぶこともある[4]。距離空間として完備であるような任意の前ヒルベルト空間は、ヒルベルト空間になる。 完備性は、H 内の列に対するコーシーの判定法（英語版）の形で表すことができる。即ち、前ヒルベルト空間 H が完備となるのは、任意のコーシー列がノルムに関する意味で H 内の元に収束することである。完備性は、次のような条件 ベクトル項級数 k = 0〜 ∞ Σ uk が k = 0〜 ∞ Σ｜ u k ｜ < ∞ なる意味で絶対収束するならば、もとの級数は（部分和が H の元に収束するという意味で） H において収束する。 によっても特徴付けることができる。 完備なノルム空間であるという点で、定義によりヒルベルト空間はバナッハ空間でもある。これらは位相線型空間であり、開集合や閉集合といった位相的概念を定めることができる。特に重要になるのが、ヒルベルト空間の閉部分空間の概念である。 完備距離空間の閉部分集合は（そこへ距離を制限すれば）それ自身完備距離空間となるから、ヒルベルト空間の閉部分空間は（そこへ内積を制限するとき）それ自身ヒルベルト空間をなす。 (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/462
463: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 00:50:46.04 ID:Py08+Ohv >>462 引用した現代数学の典型的な無限次元ベクトル空間であるヒルベルト空間と、時枝記事の実数列の集合 R^Nとを対比すれば明らかと思うが 時枝記事の実数列の集合 R^Nでは、収束は保証されていないし 距離も定義されていない いいか、ヒルベルト空間では収束が求められる しかし、時枝記事の数列はそうではないよ ここはしっかり押さえておくべき http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/463
465: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 08:43:12.36 ID:Py08+Ohv >>464 そうだね だから （命題A） （可算無限個の箱の数列で） 完全代表系を一組用意すればR^Nの任意の数列はある自然数n'が存在して n > n' の時に ある代表元のn番目以降の項と全て一致する ↓ （命題B） ＜時枝記事の内容＞ ある箱の中の数を、99/100の確率で当てられる だな http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/465
466: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 08:44:45.26 ID:Py08+Ohv >>465 つづき 横に書けば （命題A）→（命題B） ところで ・（命題A）宝くじが当たって１億円 →（命題B）大金持ちになって、東京都内のマンションか一戸建てを持てる という命題を考えてみよう まず、命題Aが問題となる。”東京都内のマンションか一戸建て”で、１億円以下の物件があれば、命題全体としては真だ。 が、”宝くじが当たって１億円”が、多くの人には不成立。だから、例えば、私の場合に限れば、不成立。そもそも、宝くじを買わないし（＾＾； さて、時枝に戻って、（命題A）の「完全代表系を一組用意すれば」を問題にしてみよう 時枝記事 >>114 で”念のため推移律をチェックすると，sとs'が1962番目から先一致し，s'とs"が2015番目から先一致するなら，sとs"は2015番目から先一致する. 〜は R^N を類別するが，各類から代表を選び，代表系を袋に蓄えておく.” ここで細かく見ると （命題A）（可算無限数列の）しっぽの先が一致する→（命題B）推移律成立で、〜は R^N を類別する となる （命題A）（可算無限数列の）しっぽの先が一致する が簡単に言えるのか？ （あたかも、「宝くじが当たって１億円」みたいに実現がほとんど不可能では？） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/466
467: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 08:45:48.51 ID:Py08+Ohv >>466 つづき 例えば、>>462で引用したヒルベルト空間内だと、結構いろんなことが整備されていて、まだ、可能かもしれない（実際にヒルベルト空間内の数列のしっぽの先が一致する同値類分類がどうかは別として） さて、>>448で引用した例を使って考えてみよう ２つの数列SaとSbと Sa＝A1,A2,・・・・,An,・・・・,Ae Sb＝B1,B2,・・・・,Bn,・・・・,Be A1=B1,A2=B2,・・・・,An=Bn,・・・・ 但し、”Ae ＝ Be かどうか不明”としよう 普通我々が、やるのは数列の頭から調べて行くことだ が、それでは、”Ae ＝ Be かどうか” いつまでも”不明”のまま ∵可算無限を調べないといけないから終わらないだろ？ あたかも、昔フェルマーの最終定理が、当時のコンピュータで調べた範囲では成立が言えても、それでは定理の証明にならないのと同じだ したがって、「数列の頭から調べて行く」という通常の手段では、「しっぽの先が一致する」は言えない！ では、どうやれば「しっぽの先が一致する」が言えるのか？ そこに切り込んで行かないと数学じゃないだろ？ そこが言えない限り、「宝くじが当たって１億円」と同じ状態だ そこをスルーしているのが、時枝記事の大きな問題だな。 「１億円」をどうやって実現するのか？ そこをスルーして良いなら、「１００億円」でも「１０００億円」でも言いたい放題だろ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/467
468: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 08:46:56.17 ID:Py08+Ohv >>467 つづき それ以外に （命題B）>>xx ＜時枝記事の内容＞ ある箱の中の数を、99/100の確率で当てられる にも疑問がある。”99/100の確率”ってところが、確率分布を少し考えればほぼ自明だが、いわゆるすその重い（実は超ヘビーな）確率分布になるから、大数の法則も中心極限定理も不成立で、”99/100の確率”はあやしい 「”東京都内のマンションか一戸建て”で、１億円以下の物件があれば」>>xx ってところが、バブル再来で「１億円以下の物件なし」の状態なら 命題Bが不成立になるのと同じ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/468
469: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 08:48:25.68 ID:Py08+Ohv >>468 訂正 （命題B）>>xx ↓ （命題B）>>465 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/469
470: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 08:57:16.34 ID:Py08+Ohv >>467 関連（ヒルベルト空間） >>466の命題Aの”しっぽの先が一致”について補足 下記、超越数かどうかが未解決の例：e+π ”有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない”という これを、「しっぽの先が一致する」同値類という視点から見ると もし、有理数なら、「しっぽの先」は循環小数（循環小数である桁の後ろが全て０の場合も含む）になって、有限小数＋循環小数（循環小数である桁の後ろが全て０の場合も含む）と表される 現代数学では、e+πがどうなっているか未解明。”循環小数（循環小数である桁の後ろが全て０の場合も含む）”になるかどうかさえ不明 なお、実数の少数無限展開は、コーシー列と同義で、ヒルベルト空間の中かな(下記ヒルベルト空間ご参照) まして、e+πが代数的数かどうかなど、夢のまた夢 それが、現代数学の現状だろ？ 「宝くじが当たって１億円」と同じ状態 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%B6%85%E8%B6%8A%E6%95%B0 超越数 (抜粋) 超越数かどうかが未解決の例 e+π、e-π、・・・など 円周率 π や自然対数の底 e の大抵の和、積、べき乗は、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない[注 4]。 (引用終り) https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%92%E3%83%AB%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%88%E7%A9%BA%E9%96%93 ヒルベルト空間 (抜粋) 距離空間として完備であるような任意の前ヒルベルト空間は、ヒルベルト空間になる。完備性は、H 内の列に対するコーシーの判定法（英語版）の形で表すことができる。即ち、前ヒルベルト空間 H が完備となるのは、任意のコーシー列がノルムに関する意味で H 内の元に収束することである。 (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/470
471: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 08:58:59.58 ID:Py08+Ohv >>470 つづき まあ、命題Aの”しっぽの先が一致”については、まさに”宝くじが当たって１億円”かそれ以前の状態だ そして、命題Bの"99/100の確率"も、いわゆるすその重い（実は超ヘビーな）確率分布の場合には証明できない 結局、結論として、全くだめってこと http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/471
478: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 16:49:09.97 ID:Py08+Ohv >>467 訂正 （実際にヒルベルト空間内の数列のしっぽの先が一致する同値類分類がどうかは別として） ↓ （実際にヒルベルト空間内の数列のしっぽの先が一致する同値類分類が可能かどうかは別として） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/478
479: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 16:54:58.98 ID:Py08+Ohv >>396 訂正 (数列の長さn→n-2) 小学生の計算間違っていた（＾＾； ２）この数列の長さはｎだ ↓ ２）この数列の長さはｎ-2だ ２）に対応して、数列の長さL(S_A) ：= n （数列の長さを、その数列の箱の数と定める）とすると lim n→∞ L(S_A) := n ２）に対応して、数列の長さL(S_A) ：= n-2 （数列の長さを、その数列の箱の数と定める）とすると lim n→∞ L(S_A) := n-2 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/479
480: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 17:26:55.27 ID:Py08+Ohv >>473-475 おっちゃん、どうも。スレ主です。 なんだ、バスの運転のアルバイトしていると思ったぜ（＾＾； ところで、有限だったら、話は簡単だ そして、代数では有限の場合も多い 無限数列のしっぽでの同値類分類：数列のしっぽが一致すれば同値＝つまりは、数列の最後の数が一致するかどうか 有限数列であれば、なんの問題もない。だが、可算無限個の箱に入った数列ではどうか？ 先頭から数を調べて行っては、終わらない ∵終わらないのが可算無限 では、可算無限個のしっぽの箱とは？ 一つの例が、>>370に示したように、最後の箱を固定して、A1,A2,・・・・,An,Ae （ここでAeは最後の箱で、箱を増やすとき数列の途中に挿入するとする） こうすれば、数列のしっぽが決まるので、話は簡単だ だが、数列のしっぽが固定できない数列が考えられる 例えば、1/999=0.001001001001001001・・・ つまり、循環数列で、少数3n位が１、少数3n+1位が0、少数3n+2位が0 123/999=0.123123123123123・・・ など 1234/9999=0.12341234123412341234・・・も可能 などと考えて行くと、数列のしっぽが固定できない循環数列のパターンが無限にあり 一方、0.12341234123412341234・・・と、0.12341234123412341234・・・Aeと、これは別の類だが、前述のように、先頭から数を調べて行っては、終わらないし どうかおっちゃんの数学センスをみせてくれよ（＾＾； どうやって、無限数列のしっぽを見分けるのか？ （時枝記事の>>114 推移律チェックは、「無限数列のしっぽが見分けられたら」が前提であることを、再度注意しておくよ） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/480
481: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 17:33:04.56 ID:Py08+Ohv >>474 >私が1つだけ示した超越数はある。だから、そのwikiは単体で挙げてもムダ。 話は逆で、”私が1つだけ示した超越数はある”だけでは不十分だ その数が、有理数（少数展開のしっぽの循環）か、無理数（少数展開のしっぽの循環がない）か、判別できない数が一つでもあると、数列のしっぽの同値類分類は完成しない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/481
482: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 17:41:00.51 ID:Py08+Ohv >>474 >ノルムの定義だのヒルベルト空間だのは時枝問題には関係ない。 記号の乱用だが 無限小数の展開の空間⊂コーシー列の空間⊂ヒルベルト空間⊂R^Nの空間 を示したつもりなんだ つまり、無限小数展開の空間を例として、可算無限個の箱に入った数列のしっぽの同値類分類が、きちんとできないなら R^Nの空間での、可算無限個の箱に入った数列のしっぽの同値類分類も、きちんとできない そういうことを言いたいのだよ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/482
483: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 17:41:58.54 ID:Py08+Ohv >>482 訂正 無限小数の展開の空間⊂コーシー列の空間⊂ヒルベルト空間⊂R^Nの空間 ↓ 無限小数展開の空間⊂コーシー列の空間⊂ヒルベルト空間⊂R^Nの空間 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/483
486: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 18:47:33.02 ID:Py08+Ohv >>484 >訂正後の式「lim n→∞ L(S_A) := n-2」の左辺はnを変数として n→+∞ として極限を取っているから、 これは最初から、lim n→∞ ( L(S_A) := n-2 ) という意味で、これで分かるはずだからかっこを省略した というか、本来の書物ではn→∞は、limの下に添え字で書かれているが、ここでは下に添え字が使えないから横に出した。かっこはもともと（書物での書き方では）不要だ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/486
487: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 18:51:49.75 ID:Py08+Ohv >>485 >スレ主は(R^Nの)任意の無限数列が出題可能であると仮定しているのでしょう？ 当然。>>114 「可算無限個ある.箱それぞれに，私が実数を入れる. どんな実数を入れるかはまったく自由，例えばn番目の箱にe^πを入れてもよいし，すべての箱にπを入れてもよい.もちろんでたらめだって構わない.」とあるとおり その後の記述は意味がわからん http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/487
488: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 18:55:49.17 ID:Py08+Ohv >>486 蛇足 L(S_A)→∞ は当然かつ自明。書くまでもないから省略しただけ というか、lim n→∞ ( L(S_A) := n-2 ) の方が意味が明白だと思った まあ、この板では、正規の数学の書式は使えないわけで それで、どうこういうのはお門違いだろ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/488
492: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 19:08:48.17 ID:Py08+Ohv >>482 補足 これも記号の乱用だが {R^Nの空間}−{ヒルベルト空間}＝可算無限次元ベクトル空間でヒルベルト空間からはみ出す部分 この部分集合が空集合でないなら（空集合でないことは自明と思うが） じゃ、この部分を数学として、どう扱うのか？ 私は、寡聞にして、知らない もし、この部分を数学として扱えない（数列を扱えない）なら、時枝の記事はこの部分では成立しないことになる・・ もっとも、ヒルベルト空間内の可算無限数列を収束だとか完備化だとかで扱えるとしても、「しっぽでの同値類」が数学になるかどうか、それはまた別の問題だ（現実にそういう数学論文は存在しない（除くパズル論）） http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/492
493: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 19:11:04.85 ID:Py08+Ohv >>490 "全ての箱に数を入れる行為"までは、問題の仮定だからOK 調べるところは、仮定の外だな（＾＾； http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/493
494: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 19:11:59.45 ID:Py08+Ohv 「有限済列の極限」か（＾＾； http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/494
495: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 19:18:23.14 ID:Py08+Ohv >>493 補足 マジレスすれば 可算無限数列の存在までは、現代数学の内 可算無限数列のしっぽの同値類分類は、現代数学の外！ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/495
497: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 20:34:20.56 ID:Py08+Ohv 時枝先生が、どこかで、「教えることが自分の勉強」と書いていたように思うが 君たちと付き合っていると、本当に勉強になるわ（＾＾； http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/497
502: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 20:59:05.28 ID:Py08+Ohv >>492 (ヒルベルト空間の参考) 以前にも引用させてもらった山上 滋先生 https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/ Shigeru's Scratchy Shelf https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/teaching.html 講義ノート https://www.math.nagoya-u.ac.jp/~yamagami/teaching/functional/hilbert2012.pdf 関数解析入門. 山上 滋. 2015 年 5 月 31 日 名古屋大 (抜粋) 4 ヒルベルト空間の幾何学 内積が指定されたベクトル空間を内積空間(inner product space) あるいは前ヒルベルト空間(pre-hilbert space) という。 内積空間はノルム空間でもある。 完備な内積空間をヒルベルト空間(Hilbert space) と呼ぶ。 問39. 内積は、内積から定まるノルムに関して連続である。 Ｐ２３ Remark . ここで取り上げた近似デルタ関数は、Friedrichs のmollifier （柔軟化作用素）として 知られているものでもあるが、Sobolev の方が早くから使っていたこと、それよりも前にDirac が 量子力学の有名な教科書でデルタ関数の解釈として（実質的に）導入してあるのを踏まえて、あえ て一般的でない名称を使った。最近の教科書では、これをapproximate identity と呼ぶ向きもあ るが、それと比較してなおapproximate delta function は示唆的であろう。なお、この古典を読め ば、Dirac がいかに線型代数に通暁していたか、のみならず、関数解析的見方をしていたかが良く わかる。Gibbs のベクトル解析の本と並ぶ驚異的なものであるが、もったいなくも、数学の学生は 読まぬのだろうなあ。 P.M.A. Dirac, Principles of Quantum Mechanics (1930). S. Sobolev (1938), K.O. Friedrichs (1944). (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/502
503: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 21:40:20.83 ID:Py08+Ohv >>502 補足 https://ja.wiki 量子力学 (抜粋) 代表的な量子力学の理論として、シュ レーディ ンガーによって創始された、シュ レーディ ンガー方程式を基礎に置く波動力学と、ハイ ゼンベルク、マッ クス・ボ ルン、ヨル ダンらによって構成された、ハイ ゼンベルクの運動方程式を基礎に置く行列力学がある[5]。 歴史 ディ ラックは1939年にブ ラ-ケ ット記法を導入した。ディ ラックに因み、ブ ラ-ケ ット記法はディラック記法（英: Dirac notation）とも呼ばれている。 ブ ラ-ケ ット記法とは、ヒルベルト空間のようなある空間上の状態ベクトルをケ ット（英: ket）、その双対空間上のベクトルをブ ラ（英: bra）で表す記法のことで、ブ ラとケ ットの自然な積として波動関数の内積などを簡潔かつ視覚的に示す目的で利用される。 ノイ マンらにより、量子力学の数学的に厳密な形式化（基礎）が確立された（『量子力学の数学的基礎』(1932) 他）。 (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/503
504: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 21:40:51.63 ID:Py08+Ohv マックスが通らない http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/504
505: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 21:41:30.88 ID:Py08+Ohv マックス・ボ ルン http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/505
506: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 21:43:38.24 ID:Py08+Ohv 単独ならとおる？ 不思議だ >>502 補足 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6 量子力学 (抜粋) 代表的な量子力学の理論として、エルヴィン・シュレーディンガーによって創始された、シュレーディンガー方程式を基礎に置く波動力学と、ヴェルナー・ハイゼンベルク、マッ クス・ボルン、ヨルダンらによって構成された、ハイゼンベルクの運動方程式を基礎に置く行列力学がある[5]。 歴史 ディラックは1939年にブラ-ケット記法を導入した。ディラックに因み、ブラ-ケット記法はディラック記法（英: Dirac notation）とも呼ばれている。 ブラ-ケット記法とは、ヒルベルト空間のようなある空間上の状態ベクトルをケット（英: ket）、その双対空間上のベクトルをブラ（英: bra）で表す記法のことで、ブラとケットの自然な積として波動関数の内積などを簡潔かつ視覚的に示す目的で利用される。 ジョン・フォン・ノイマンらにより、量子力学の数学的に厳密な形式化（基礎）が確立された（『量子力学の数学的基礎』(1932) 他）。 (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/506
507: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 21:44:39.37 ID:Py08+Ohv マックス・ボルン ↓ マッ クス・ボルン でとおる？ http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/507
508: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 21:45:37.80 ID:Py08+Ohv 組み合わせか マックス・ボルンのままではだめだった http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/508
509: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 21:47:17.82 ID:Py08+Ohv >>506 つづき https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6%E3%81%AE%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%9F%BA%E7%A4%8E (抜粋) 量子力学の数学的基礎（りょうしりきがくのすうがくてききそ、独: die Mathematische Grundlangen der Quantenmechanik）は、ジョン・フォン・ノイマン(ら)によってなされた、量子力学で扱う物理量や状態といった概念の基礎付け（形式化）の仕事、およびそれについて1932年に刊行した論文および書籍のタイトルである。 これにより、ハイゼンベルク-ボルン-ジョルダンによる行列力学とシュレディンガーによる波動力学を抽象ヒルベルト空間のクラスに帰属する理論として統一が行なわれた。 概要 20世紀に発展した物理学の分野である量子力学は、数学的にはヒルベルト空間とその上の線型有界作用素や非有界な自己共役作用素などを用いて基礎づけた。 この定式化は 1930 年代の初めにポール・ディラックやジョン・フォン・ノイマンらが達成し「量子力学の数学絵的基礎」として出版した。抽象ヒルベルト空間の一般論、量子力学の統計、理論の演繹的構成、熱力学的考察、測定の過程からなる[1]。 第一量子化 ヒルベルト空間のベクトルやそれらの内積を表すのに簡便な記法としてブラ-ケット記法がしばしば用いられる。 状態 量子力学系の状態は、（可分な）複素ヒルベルト空間の単位ベクトル（状態ベクトル）または、有界線形作用素のなす環 B(H) 上の単位的正値線型形式 T → < ξ | T | ξ > によって表される。 物理量 観測可能な物理量（オブザーバブル）はそのヒルベルト空間の線形エルミート演算子によって表される。 観測される物理量はエルミート作用素の固有値として表されることになる。連続的な値をとる物理量に対しては上の分解の拡張であるスペクトル分解が対応する。 測定値 系が状態 |ψ〉であるとき、上の記号の下で、オブザーバブル A を測定すると測定値 ak が観測される確率は |〈ek | ψ〉|2 となる。これをボルンの規則という。ek たちがヒルベルト空間の正規直交基底であることから、各々の場合の確率の和は =1 となることが保証される[2]。 (引用終り) http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/509
510: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 21:51:48.70 ID:Py08+Ohv >>509 まあ、要するに、行列力学とシュレディンガーによる波動力学の両方を入れる入れ物として、ジョン・フォン・ノイマン(ら)によって、無限次元ベクトル空間であるヒルベルト空間を使った ヒルベルト空間には、内積を入れて、扱いやすくした じゃ、ヒルベルト空間でない無限次元ベクトル空間は扱いにくい？ 答えはＹｅｓかな（＾＾； http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/510
511: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 22:27:24.63 ID:Py08+Ohv マックス・ボルン ng ワードか http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/511
512: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 22:29:52.70 ID:Py08+Ohv 分かった風な口をきく ID:JI0BfLNk さんよ >>498 を是とするのか非とするのか？ あんたの意見を聞きたい http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/512
513: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/26(土) 22:32:49.14 ID:Py08+Ohv 分かった風な口をきく ID:JI0BfLNk さんよ http://rio2016.2ch.net/test/read.cgi/math/1475822875/35 についても、是とするのか非とするのか？ あんたの意見を聞きたい 回答頼むよ（＾＾； まあ、両方とも答えられんだろうな・・ あんたのレベルじゃ（＾＾； http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/513
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