現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net

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263: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/12(土) 07:10:04.99 ID:CRbt3jrT

レベル合わせをしておこう
現代数学は、無限を扱うことができる

１）無限について
http://c-faculty.chuo-u.ac.jp/~nishioka/
西岡國雄の頁 中央大
http://c-faculty.chuo-u.ac.jp/~nishioka/cardinal_15.pdf
「数学入門」の「無限」西岡國雄 中央大  2015

”現代数学の特徴は, 無限を頻繁に扱う点にあるが, 例題1.1, 1.2 に示されるように, 無限を扱うには特別の注意が必要である.”
”可算無限(アレフゼロ) と呼ぶ( 「N の濃度はアレフゼロ」)”
”1.3 有理数から実数へ “有理数からなる数列”で「基本列」と呼ばれる性質(1.7) を備えたものの極限全体を考え, それを実数R とよぶ.”（いわゆるコーシー列）

２）”無限（むげん、infinity）とは、限りの無いことである。
直感的には「限界を持たない」というだけの単純に理解できそうな概念である一方で、直感的には有限な世界しか知りえないと思われる人間にとって、無限というものが一体どういうことであるのかを厳密に理解することは非常に難しい問題を含んでいる。”
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%84%A1%E9%99%90 より

２'）∞は無限を示す記号である。数字の8を90度回転したような記号である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E2%88%9E

３）公理的集合論：現在一般的に使われている集合の公理系は以下の ZFC である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
無限公理と選択公理

４）極限　”無限遠点における挙動 関数の無限における極限においても、関数の発散を考えることができる。 f ( x ) → ∞ ( x → ∞ ) と表す。”
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E9%99%90

５）超限帰納法 ”数学的帰納法は、任意の整列集合に対して次のように一般化することができる。 任意濃度の集合は選択公理と同値な整列可能定理により整列順序を持つとすることができるので、選択公理を含む公理系であれば超限帰納法は任意濃度の集合に対して成立すると主張できる。”
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E5%AD%A6%E7%9A%84%E5%B8%B0%E7%B4%8D%E6%B3%95

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/263

335: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/19(土) 14:32:00.99 ID:0Q0Vh9CE

>>333
Scottのトリック補足

http://alg-d.com/math/ac/card2.html
本当は怖い濃度の話 : 選択公理 | 壱大整域 2013年10月27日更新
(抜粋)
この定義は明らかに選択公理に依存しています．では選択公理を使わずに濃度が定義できるのかというと，Scottのトリックというものを使い定義することができます．

https://en.wikipedia.org/wiki/Scott%27s_trick
Scott's trick
(抜粋)
In set theory, Scott's trick is a method for giving a definition of equivalence classes for equivalence relations on a proper class (Jech 2003:65). The method relies on the axiom of regularity but not on the axiom of choice.
It can be used to define representatives for ordinal numbers in ZF, Zermelo?Fraenkel set theory without the axiom of choice (Forster 2003:182). The method was introduced by Dana Scott (1955).

Beyond the problem of defining set representatives for ordinal numbers, Scott's trick can be used to obtain representatives for cardinal numbers and more generally for isomorphism types, for example, order types of linearly ordered sets (Jech 2003:65).
It is credited to be indispensable (even in the presence of the axiom of choice) when taking ultrapowers of proper classes in model theory. (Kanamori 1994:47)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/335

523: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/27(日) 07:25:31.99 ID:dKz7cXDk

>>522 つづき

Cooley and Tukey published a more general version of FFT in 1965 that is applicable when N is composite and not necessarily a power of 2.[9]
Tukey came up with the idea during a meeting of President Kennedy’s Science Advisory Committee where a discussion topic involved detecting nuclear tests by the Soviet Union by setting up sensors to surround the country from outside.
To analyze the output of these sensors, a fast Fourier transform algorithm would be needed.
In discussion with Tukey, Richard Garwin recognized the general applicability of the algorithm not just to national security problems, but also to a wide range of problems including one of immediate interest to him, determining the periodicities of the spin orientations in a 3-D crystal of Helium-3.[10]
Garwin gave Tukey's idea to Cooley (both worked at IBM's Watson labs) for implementation.[11] Cooley and Tukey published the paper in a relatively short six months.[12]
As Tukey didn't work at IBM, the patentability of the idea was doubted and the algorithm went into the public domain, which, through the computing revolution of the next decade, made FFT one of the indispensable algorithms in digital signal processing.
(引用終り)

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/523

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