現代数学の系譜11 ガロア理論を読む25 [無断転載禁止]©2ch.net

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140: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/05(土) 19:48:06.71 ID:DzICE8Th

”「分かりやすさと扱いやすさのトレードオフ」は数学の様々な場面で付きまとう問題である．”か。至言かも・・・
https://infinitytopos.wordpress.com/2015/02/10/%e2%88%9e%e3%82%ab%e3%83%86%e3%82%b4%e3%83%aa%e3%83%bciii/
∞カテゴリーIII 投稿日: 2015年2月10日 投稿者: infinity_topos
(抜粋)
　前回の二回の投稿で∞カテゴリーの一つのモデルであるquasi categoryについて解説してきた．その話によると，位相空間（の特異単体）や圏はsimplicial setの中でそれぞれ特徴づけを持ち，それらの性質を合わせたものがquasi categoryなのであった．
では，なぜsimplicial setで考える事に意味があるのか，それにはどういった優位性があるのだろうか，と考えるのは自然な疑問だろう．今回はそれに対する一つの答えを与えようと思う．

●Simplicial setの圏論的性質
　まずは，圏論的な性質から考察しよう．これに関しては，simplicial setは位相空間と比べ格段に「良い」性質を持つ事が知られている．というのも，位相空間の圏は性質が悪すぎるのだ．

例えば，位相空間の圏はカルテシアン閉ではない．つまり，\displaystyle Hom_{\mathsf{Top}}(X\times Y,Z)\cong Hom_{\mathsf{Top}}(X,Z^Y)は成立しない．また，2つのCW複体\displaystyle X,Yの直積空間\displaystyle X\times YにCW複体の構造が入るとは入らない．
これらの問題は，前者は\displaystyle Yが局所コンパクト，後者は片方の空間が局所コンパクトなら実は成立する．しかし，では局所コンパクト空間のみ考えればよいかといえば，今度は局所コンパクト空間の圏\displaystyle \mathsf{LocCpt}は余極限について閉じない．

このように，何かを求めれば何かを失うといったところで，圏論的にも扱いやすい位相空間のクラスを見つけるという事は半世紀ほど前の一つの問題であった．そこでSteenrodのA convenient category of topological spacesなどで提案されてきたのが，コンパクト生成空間だ．
詳細は述べないが，このクラスにおいては余極限は変わらないが，ケリー化と呼ばれる通常と少し異なる直積位相を用いる．実はそれにより，前の二つの問題はどちらとも解決される．topological categoryの定義でコンパクト生成ハウスドルフ空間を用いるのも，実はこのような圏論的な要請が関連している．
つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/140

329: 現代数学の系譜11 ガロア理論を読む [sage] 2016/11/19(土) 14:07:10.71 ID:0Q0Vh9CE

>>328
http://www.shayashi.jp/
林晋, 京都大学大学院文学研究科 現代文化学専攻 情報・史料学教授
http://www.shayashi.jp/vitae-jp.html#papers
http://www.shayashi.jp/gendaishiso.html
ヒルベルトと２０世紀数学 -公理主義とはなんだったか？- 雑誌「現代思想」、２０００年１０月臨時増刊 (林晋 はやしすすむ・数理論理学)
(抜粋)
現代思想2000年１０月臨時増刊「数学の思考」掲載の「ヒルベルトと２０世紀数学」の完全版です。OCRで読み込んだので、おかしなところがあるかもしれません。気づかれましたら、お教えください。BBSの方で結構です。（これについては、匿名でもかまいません。）

1　はじめに

二〇世紀最後の今年はヒルベルトの「数学の問題」一〇〇周年にあたる。それはまた「公理主義」一〇〇周年でもある。この機会に二〇世紀数学の方向を決定づけたといわれるヒルベルトの数学とは何だったのか、「公理主義」とはなんだったのか、それは二〇世紀数学にとって何をもたらしたかを考えてみたい。

現代の我々が「構造」として捉えるものをヒルベルトは「証明・論理」により捉えようとしたらしい。現代の我々にとって公理とは、集合論や圏論などの言語により、ブルバキ的な「集団としての構造」を記述する条件であるが、ヒルベルトにとっては公理はよりシンククティカルなものであった。
なぜだろうか? 公理論を数学の存在論として捉えるヒルベルトにとっては、「言語のもつ有限性」こそが重要だったからである。「幾何学基礎論」や「数の概念について」の公理系はある種の極大構造を定義している。たとえば「数の概念について」の実数論の公理系が記述しているものは極大アルキメデス順序体である。
我々は当然集合論を前提としてこれを理解する。特に実数の完備性を保証する極大という条件は非常に集合論的である。しかし、奇妙なことに一九〇〇年のヒルベルトは、極めて集合論的なこの極大性条件さえ「有限性」を実現するものとして捉えている。
ヒルベルトは、実数の有限個の公理から・有限ステップの証明だけで考えることにより、カントールのように任意の基本列を考える必要がなくなり、この極大性の公理により一無限の世界が排除されクロネッカーの批判から免れると主張した。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1477804000/329

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